Distance d'un point à une droite

[Raysix]

Bonjour, j'ai un exercice alors voici le sujet:
Dans un repère orthonormé, on considère le point M(-3;4) et la droite (d) : y=0.5x+1
1) Quelle est la distance entre le point M et la droite (d)
2) En quel(s) point(s) de (d) cette distance est-elle atteinte
j'ai répondue à la première question donc : 4.02 mais la 2 je ne comprend pas

Merci

Merci d'être un peu plus poli à l'avenir (un bonjour/merci ne font jamais de mal et son bien acueillis) et d'éviter les "DM" (surtout en titre de discussion), "DM pour demain" etc, c'est interdit.

capitaine nuggets

[anthony_unac]

Bonsoir,
C'est amusant cette question car finalement la distance entre un point et une droite est une notion peu évidente pour moi (on m'aurait parler de la distance entre un point et un point ok mais là !).
Comment définissez vous la distance entre un point et une droite ?

[Raysix]

pour la question 1 j'ai utilisé une méthode avec les vecteurs et la valeur absolue. C'est a dire : si la droite a pour equation y= mx+p alors d(A,(d)) = |mxA - yA+p|/racine carrée de 1+m²

[Raysix]

mais la question 2 je ne sais pas en quel point la distance (d) est-elle atteinte

[capitaine nuggets]

Salut !

Garde plutôt le résultat sous forme exacte, évite les arrondis. Qu'obtiens-tu alors pour la question 1 ?
Pour la question 2, tu as dû le voir en cours, la distance est obtenue au point : projeté orthogonal de sur .

Bonsoir,
C'est amusant cette question car finalement la distance entre un point et une droite est une notion peu évidente pour moi (on m'aurait parler de la distance entre un point et un point ok mais là !).
Comment définissez vous la distance entre un point et une droite ?

Sans vouloir entrer trop dans les détails, la distance d'un point à une droite est la plus petite longueur , lorsque décrit . Autrement dit, la distance de à est définie par : c'est la plus petite des longueurs joignant à .

[anthony_unac]

Bonjour,
Je me doutais bien que c'était la distance minimale qui se cachait derrière tout ça mais ce n'est pas évident de prime à bord à la lecture de l'énoncé.

[Ben314]

Je me doutais bien que c'était la distance minimale qui se cachait derrière tout ça mais ce n'est pas évident de prime à bord à la lecture de l'énoncé.

Je sais pas comment c'est présenté aujourd'hui, mais dans le temps, c'était une notion abordée au Collège pour donner un exemple d'application du théorème de Pythagore : Si on considère le projeté orthogonal P de M sur la droite (d), la formule de Pythagore permet de montrer que la distance MP réalise le minimum des distance MA où A est un point de (d) : MA²=MP²+PA²>=MP² avec égalité ssi A=P.

Je pense (à confirmer) qu'on continue à le faire au Collège, modulo qu'on risque de ne plus prononcer des expressions comme "projeté orthogonal" ni "distance d'un point à une droite" car considérés comme "trop techniques", mais l'idée est quand même là.

C'est a dire : si la droite a pour equation y= mx+p alors d(A,(d)) = |mxA - yA+p|/racine carrée de 1+m²

Et bien évidement, dans le système actuel, plutôt que de se rappeler de la méthode correspondant stricto senso au point de vue géométrique (i.e. chercher une équation de la droite (d') passant par M et orthogonale à (d) puis calculer l'intersection de (d) avec (d') pour trouver les coordonnées de P et enfin en déduire la longueur MD), les élèves d'aujourd'hui préfèrent très nettement apprendre par cœur une formule (qu'ils sont bien entendu incapable de redémontrer vu que pour eux, le seul endroit d'où elle peut provenir, c'est... un chapeau...)

[chan79]

Si on considère le projeté orthogonal P de M sur la droite (d), la formule de Pythagore permet de montrer que la distance MP réalise le minimum des distance MA où A est un point de (d) : MA²=MP²+PA²>=MP² avec égalité ssi A=P.

salut

Ca peut aussi se voir avec l'inégalité triangulaire
On place un point M et son symétrique M' par rapport à la droite.
(MM') et la droite se coupent en H.
Si P est sur la droite (médiatrice de [MM']:
MM'<=MP+PM'
2MH<=2MP
MH<=MP

[Ben314]

Il me semble que, avec les lettres que tu as sur ton dessin, c'est plutôt HP<=MP qu'il faut montrer, non ?
Et je doute un peu que tu t'en sorte sans Pythagore vu qu'un point essentiel de la figure, c'est justement l'angle droit (c'est éventuellement possible, mais pas uniquement avec l'inégalité triangulaire qui n'a que faire des angles droits.)

[chan79]

MH est la plus petite distance de M à la droite puisque MH<=MP , P étant un point quelconque de la droite

[zygomatique]

salut

je rejoins les propos de ben314


je ne sais pas quelle est le niveau du posteur ... mais on est amené à rechercher un minimum !!!

donc le minimum d'une fonction

et la "bonne" fonction à considérer est P --> PM où P (x, x/2 + 1) est un point de la droite

la distance PM est aisée à calculer depuis le collège puis fonction, dérivée, minimum ... (à partir de la première)

1/ le théorème de Pythagore permet de justifier que l'extremum est un minimum

2/ il y a mieux que la "bonne" fonction ... (pour ne pas s'em... dans les calculs)

3/ en seconde on n'a même pas besoin de dérivée ... si on connait son cours sur le trinome du second degré ...


ça c'est du travail mathématique ... donc celui d'un humain = être pensant

appliquer une formule est un travail de machine ...

[chan79]

Pour moi, il y a deux façons de résoudre cet exo:
1°) La distance la plus courte étant obtenue en menant la perpendiculaire, on établit une équation de la perpendiculaire à d qui passe par M. On obtient y=-2x-2
On résout le système:
y=-2x-2
y=0.5x+1
On obtient les coordonnées du point d'intersection puis la distance minimale.
2°)Soit P(x,0.5x+1) un point de d
On calcule la distance MP en fonction de x et on détermine pour quelle valeur de x cette distance est minimale.