Difficulté sur les limites de fontion

par **Krapoplate** » 12 Aoû 2010, 18:35

Re bonjour a tous,
Me revoila avec un nouevau souci en maths, mais beaucoup plus dur :triste: .
Voici l'énoncé:
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x^3 + 4x² 4x + 1
1°) Déterminer la limite de f en ;). Préciser les opérations effectuées (par somme, par produit...).

Voila ma réponse

lim -x^3 = + l'infini
x-> -l'infini

lim +4x² = + l'infini
x-> -l'infini

lim -4x = + l'infini
x-> -l'infini

lim 1 = 1
x-> -l'infini

Donc par somme quand f(x) tend vers -l'infini x tend vers +l'infini.

Pour le moment tout va bien :happy3: , mais c'est apprès que c'est stressant :mur:

2°) a) Montrer que pour tout x > 0, f(x)= -x^3 (1-(4/x)+(4/x²)-(1/x^3)).

A noter que dans lénoncé il n'y a pas de parenthèse entre 4/x 4/x² et 1/x^3
Donc je vois bien qu'il y a un parallèle avec f(x) = x3 + 4x² 4x + 1, dans la grande parenthèse les exposants sont au dénominateur, mais là j'aoue je bloque totalement. Deja f(x) = x3 + 4x² 4x + 1, a été transformé en produit. alala enfin c'est la catastrophe :cry:

b) Déduire du 2°) a) la limite de f en +;). Préciser les opérations effectuées (par somme, par produit...).

bon là je vais savoir y faire avec l'opération de limite par produit.

Voili voilou.

par **Finrod** » 12 Aoû 2010, 20:05

Développe le produit et vérifie qu'il est bien égal à f(x).

par **uztop** » 12 Aoû 2010, 20:06

Salut,

qu'est ce que tu obtiens quand tu développes -x^3 (1-(4/x)+(4/x²)-(1/x^3)) ?

Ensuite, pour le calcul de la limite, que valent:

donc que vaut:

?

par **Krapoplate** » 12 Aoû 2010, 20:28

Alors le développement
-x^3(-x^3 (1-(4/x)+(4/x²)-(1/x^3))
= -x^3+ (4x^3/x)- (4x^3/x²) +(x^3/x^3)
= -x^3 + (la je suppose qu'il faut mettre au meme dénominateur :s) +1
donc je trouve un résultat bisarre qui est -x^3+ (4x^3/x²)- (4x^3/x²)+1
Bon je me rapproche du but petit à petit

par **Krapoplate** » 12 Aoû 2010, 20:41

Oh, et bien je viens de trouver une idée qui marche ^^. Mais je trouve cela plutot bisarre
J'ai simplifié des fractions
donc
-x^3+ (4x*x*x/x) - (4x*x*x/x*x)+1
ce qui fait que lorsque l'on simplifie ça fait
-x^3 + 4x²- 4x + 1

you hou, j'ai réussi!! Je vous remercie énormement, car sans vous je pense que j'aurai encore cogité de longues heures^^

par **Krapoplate** » 12 Aoû 2010, 21:13

pour les limites quand x tend vers +;). Tout d'abord on fait par somme (pour tout ce qu'il y a dans la parenthèse) donc

lim 1 = 1 lim -4/x = 0 lim 4/x² = 0 lim -1/x^3= 0
x-> +;) x-> +;) x-> +;) x-> +;)

Par somme (1- 4/x + 4/x² - 1/x^3) tend vers 1 en +;)

Ensuite, lim -x^3 = -;)
x-> +;)

Par conséquent, par produit, f(x)= -x^3 (1- 4/x + 4/x² - 1/x^3) tend vers -;) en +;)

J'avour qu je ne suis pas très sûre de mon résultat :s

par **Dinozzo13** » 13 Aoû 2010, 01:01

Salut !

Pour la 2°)a) il te suffit de factoriser par le terme de plus haut degré de

, c'est-à-dire,

sous réserve que

.

En ce qui concerne la 2°)b) c'est à priori une forme indéterminée :
Pour tout

:

Or

Donc

et

Donc par conséquent,

On remarquera que

a la même limite que

----> On retiendra que la limite en

ou

d'une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.

En espérant t'avoir aidé :++:

par **Krapoplate** » 13 Aoû 2010, 09:50

Lim -4/x= 0
x-> +;)

lim 4/x² =0
x-> +;)

lim -1/x^3= 0
x-> +;)

donc lim (1- 4/x+4/x²-1/x^3)= 0
x->+;)

et lim -x^3 = -;)
x-> +;)

Donc tu as bien raison c'est une forme indéterminée :'(. Cependant, on ne peut pas mettre la limite de 1? Comme ça on peut dire qu'il tend vers 1 et donc par produit ça fait - l'infini quand f(x) tend vers + l'infini. hihi

Si je fais tout ce meli melo, c'est parceque en cours nous n'avions pas eu le temps de bien travailler sur les limites, du coup mon cours se résume qu'à un tableau où il y a par exemple si on trouve +;) et -;) ( dans le cas de la somme) c'est une forme indéterminée. Mais ensuite on a rien pour plus approfondir l'étude :S.

C'est complexe^^. Mais bon je te remercie beacuoup Dinozzo13, j'ai tout compris dans tes explications.

par **Dinozzo13** » 13 Aoû 2010, 15:07

Salut !

De rien ^^, c'est vrai qu'il n'est pas facile pour tout le monde de comprendre ça du premier coup, mais en persévérant, on peux y arriver :++:

Tiens, voici l'exercice comme promis.
Il traite des limites de fonctions, ses variations, dérivée, asymptotes et d'équations de tangente.

Onconsidère la fonction

définie sur

par :

On note

la représentation graphique de

dans un repère orthonormal

(unité graphique : 2 cm).

1°)a) Calculer les limites de

en

et en

.
b) Calculer la limite de

en

et interpréter le résultat.
2°) Calculer

et vérifier que, pour tout

de

:

En déduire le sens de variations de

et dresser son tableau de variations.
3°) Montrer que, pour tout

de

:

En déduire que la droite

d'équation

est asymptote à

et étudier la position de

par rapport à

.
4°) Démontrer qu'il existe une droite

tangente à

et parallèle à

; donner une équation de

.
5°) Ecrire une équation de la droite

tangente à

au point d'abscisse 3.
6°) Tracer

et

dans le repère

;
7°) Déterminer graphiquement, suivant les valeurs de m, le nombre de solutions de l'équation :

.

Voilà, bonne révision, je serai là en cas de besoin ^^

par **Finrod** » 13 Aoû 2010, 19:05

Krapoplate a écrit:Lim -4/x= 0
x-> +;)

lim 4/x² =0
x-> +;)

lim -1/x^3= 0
x-> +;)

donc lim (1- 4/x+4/x²-1/x^3)= 0 [COLOR=Red]non ça fait 1
x->+;)
[/COLOR]
et lim -x^3 = -;)
x-> +;)

Donc tu as bien raison c'est une forme indéterminée :'(. Cependant, on ne peut pas mettre la limite de 1? Comme ça on peut dire qu'il tend vers 1 et donc par produit ça fait - l'infini quand f(x) tend vers + l'infini. hihi

ben si, c'est ce qu'il faut faire

Si je fais tout ce meli melo, c'est parceque en cours nous n'avions pas eu le temps de bien travailler sur les limites, du coup mon cours se résume qu'à un tableau où il y a par exemple si on trouve +;) et -;) ( dans le cas de la somme) c'est une forme indéterminée. Mais ensuite on a rien pour plus approfondir l'étude :S.

C'est complexe^^. Mais bon je te remercie beacuoup Dinozzo13, j'ai tout compris dans tes explications.

.....................

par **Krapoplate** » 17 Aoû 2010, 22:03

Bonjour. J'ai commencé l'exercice.
Pour le 1°aet b va bien. Mais pour le 2° c'est un peu plus dure.
Donc j'ai calculer f '. J'ai trouvé f'(x)= -3x²+10x-7/ (x-2)² . Mais voila où est le problème. J'ai developpé l'expression suivante, mais impossible de retrouver mon résultat :s. D'ailleur je ne comprend pas pourquoi il y a l'exposant cube au dénominateur, alors que dans l'expression f' que j'ai trouvé il y a un carré.

par **Krapoplate** » 17 Aoû 2010, 22:07

le résultat que je trouve quand je développe (x-1)(x²+5x-8)/(x-2)^3 est x^3+6x²-13x+8/ (x-2)^3

par **Dinozzo13** » 17 Aoû 2010, 22:15

Salut !

Krapoplate a écrit:le résultat que je trouve quand je développe (x-1)(x²+5x-8)/(x-2)^3 est x^3+6x²-13x+8/ (x-2)^3

Ce résultat est bon, ta dérivée est par contre fausse.

par **Dinozzo13** » 17 Aoû 2010, 22:18

L'égalité que tu as montrée sert à montrer que la dérivée que tu dois trouver doit-être égale à

par **Krapoplate** » 17 Aoû 2010, 22:21

d'accord, Je vais faire une nouvelle tentative de dérivée^^

par **Dinozzo13** » 17 Aoû 2010, 22:22

Tu dois dériver

Pose

et

.
Dérive-les.
Trouve ensuite

en utilisant la relation :

par **Krapoplate** » 17 Aoû 2010, 22:34

u'(x)= -3x²+10x-7
v' (x) = je n'arrive pas avec une expression entre parenthèse et au carré, mais si ma logique est bonne ça devrait faire 1. bon je t'expliques comment j'ai fait d'abord pour me simplifier les choses j'ai écrit de cette manière (x-2) (x-2). Ensuite, j'ai dérivé ces deux-ci donc (1)(1) ce qui donne 1. (J'ai l'impression que ce que je viens de donner comme réponse est désespérante :s)

par **Dinozzo13** » 17 Aoû 2010, 22:39

Si tu prends (x-2)(x-2) il te faudrait utiliser la formule

.
Ici, en considérant

, il te faut utiliser

par **Krapoplate** » 17 Aoû 2010, 22:49

d'après mes calcules v'(x)= 2x-4

par **Dinozzo13** » 17 Aoû 2010, 22:53

C'est cela :++:

Difficulté sur les limites de fontion

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