Différence de cosinus

par **Waax22951** » 01 Avr 2015, 12:49

Bonjour,
Je me posais une question à laquelle je ne trouve pas de réponse: existe-t-il un couple d'entiers naturels distincts

(

) tel que pour tout autre couple d'entiers naturels distincts

(

), on ait:
[CENTER]

[/CENTER]

Autrement dit, est-ce qu'il existe un couple

tel que la différence

soit minimale ?

Si oui, quel est ce couple ?

Je conjecturais jusqu'à présent que ce couple existait et qu'il s'agissait de (2, 1), mais était jusqu'à ce que je trouve le couple (181, 179).
Je n'y ai pas beaucoup réfléchis, donc la solution est peut-être évidente, désole si c'est le cas.. :triste:

Le fait est que cette différence ne peut être nulle, puisque l'irrationalité de

permet de montrer que

.

Merci d'avance et bonne après-midi ! :we:

par **chan79** » 01 Avr 2015, 13:14

par **Waax22951** » 01 Avr 2015, 13:56

En effet, mon algorithme était bon, mais j'avais laissé ma calculatrice en degrés, suite à un devoir de physique, du coup je relance l'algorithme.. :lol3:

par **Shew** » 01 Avr 2015, 14:33

Waax22951 a écrit:Bonjour,
Je me posais une question à laquelle je ne trouve pas de réponse: existe-t-il un couple d'entiers naturels distincts () tel que pour tout autre couple d'entiers naturels distincts (), on ait:
[CENTER][/CENTER]

Autrement dit, est-ce qu'il existe un couple tel que la différence soit minimale ?

Si oui, quel est ce couple ?

Je conjecturais jusqu'à présent que ce couple existait et qu'il s'agissait de (2, 1), mais était jusqu'à ce que je trouve le couple (181, 179).
Je n'y ai pas beaucoup réfléchis, donc la solution est peut-être évidente, désole si c'est le cas.. :triste:

Le fait est que cette différence ne peut être nulle, puisque l'irrationalité de permet de montrer que .

Merci d'avance et bonne après-midi ! :we:

On peut se réferer au fait que la fonction cosinus est croissante sur

et décroissante sur

par **chan79** » 02 Avr 2015, 19:08

en fait, on peut montrer que la suite cos(n) admet tous les éléments de [-1,1] comme valeurs d'adhérence.

Autrement dit, est-ce qu'il existe un couple (a,b) tel que la différence soit minimale ?

la réponse est non

par **Waax22951** » 05 Avr 2015, 21:26

chan79 a écrit:en fait, on peut montrer que la suite cos(n) admet tous les éléments de [-1,1] comme valeurs d'adhérence.

Qu'est-ce que cela signifie exactement ? :hein:

Merci pour vos réponses..! :lol3:

par **Ben314** » 06 Avr 2015, 00:27

Waax22951 a écrit:Qu'est-ce que cela signifie exactement ? :hein:

ça signifie que, si tu te donne un réel quelconque x de [-1,1] et un epsilon aussi petit soit-il, ben il y aura au moins un entier n (en fait une infinité) tel que cos(n) soit proche de x à moins de epsilon près.
Donc ta quantité |cos(a)-cos(b)| peut être rendue aussi petite que l'on veut.

Et comme d'un autre coté, si a et b sont des entiers distincts, alors cos(a) et cos(b) sont distincts (car pi est irrationnel) la quantité en question ne peut jamais être nulle.

par **Waax22951** » 06 Avr 2015, 11:25

D'accord, en réalité ç'est dire que l'ensemble

est dense dans [-1, 1], non ? :hein:
Sans vouloir être trop embêtant, comment montre-t-on cela ? :we:

par **Ben314** » 06 Avr 2015, 14:05

LE truc pas évident, c'est de montrer que pi est irrationnel.
Ensuite tu utilise (ou tu démontre : c'est assez simple) le fait qu'un sous groupe de (R,+) est soit de la forme aZ (a dans R) soit dense. Tu en déduit, vu que pi est irrationnel, que Z+2piZ est dense dans R et c'est fini.

par **Waax22951** » 06 Avr 2015, 22:31

Ben314 a écrit:LE truc pas évident, c'est de montrer que pi est irrationnel.
Ensuite tu utilise (ou tu démontre : c'est assez simple) le fait qu'un sous groupe de (R,+) est soit de la forme aZ (a dans R) soit dense. Tu en déduit, vu que pi est irrationnel, que Z+2piZ est dense dans R et c'est fini.

D'accord, merci beaucoup ! :lol3:
Je me pose une question: penses-tu qu'un élève de terminale peut apprendre la topologie ou bien est-ce trop compliqué pour mon niveau ? :hein:
(Après tout, si c'est enseigné en post-bac, c'est qu'il doit bien y avoir une raison..!)

Bonne soirée ! :lol3:

par **Ben314** » 07 Avr 2015, 04:19

Tout dépend de ce que tu appelle "apprendre la topologie".
Si c'est apprendre quelques notions topologiques, c'est déjà fait avec la notion de limite et celle de continuité et les quelques théorèmes qui vont avec.

A l'inverse, si c'est d'introduire la notion générale d'espace topologique, ça me semble totalement hors de porté de la plupart des élèves. Rien qu'en L3 (où c'est enseigné) lorsque tu dit qu'un espace topologique E, c'est la donnée d'un ensemble de parties de E appelés "ouverts", tu as largué les 3/4 des étudiants.

Raisonnablement, ce qu'on peut se poser comme question, c'est de savoir si on pourrait aller un petit peu plus loin concernant la topologie de R, en parlant par exemple de valeurs d'adhérence d'une suite, de sous ensemble denses voire uniquement en énonçant d'autres résultats sur les notions déjà vues : je ne suis pas du tout sûr qu'on voit que l'image d'un segment [a,b] par une fonction continue est forcément un segment.
A mon avis, ça serait pas terrible pour la grande majorité des étudiants vu que déjà en L1 où c'est enseigné, il y a des tonnes d'étudiant qui comprennent que dalle à ce qu'est "l'image d'une partie par une application" et qui t'écrivent qu'on a systématiquement f([a,b])=[f(a),f(b)] sous prétexte (à mon avis) que "ça sonne bien" comme "formule" (les maths. c'est pas juste apprendre des "formules" par cur ?)

par **Waax22951** » 08 Avr 2015, 23:03

Quand je parle d'apprendre la topologie, je parle d'apprendre les notions de base et d'être capable de les utiliser lors d'un exercice (ouverts, fermés, valeurs d'adhérence, etc..).

Je pose justement cette question car j'ai l'intention de profiter de la fin de mon année pour faire des choses qui me plaisent plus, et que c'est une branche qui m'intéresse. Mais je ne veux en aucun cas apprendre un cours dont je ne pige rien ou bien que je comprendrais "mal" (par exemple, au niveau de lycée, la bête notion de borne supérieure m'a pas mal dérangé).

Ce genre de questions m'intéressent, sais-tu où est-ce qu'on peut trouver des cours et des exercices sur ce genre de notion ?
(Bêtement je pensais que cela relevait plutôt de l'analyse, en particulier l'image d'un intervalle par une fonction, puisque la démonstration, il me semble, implique la notion de borne supérieure, dont la définition est proche de celle de limite)
Pour ce qui est de l'image d'une partie par une application, j'ai eu la chance d'avoir un livre de cours très approfondi dans certains chapitres de TS (analyse, géométrie, algèbre..) et donc j'ai eu l'occasion de le voir dans le but de démontrer le fait qu'une fonction du type

est une primitive de f et s'annule en a, mais je ne m'en suis pas servi autrement..!

Bonne soirée et merci pour ta réponse :lol3:

par **mathelot** » 09 Avr 2015, 06:51

topologie

je te conseille le L.Schwartz "topologie générale et analyse fonctionnelle" chez Hermann éditeur.

par **Waax22951** » 12 Avr 2015, 18:05

mathelot a écrit:topologie

je te conseille le L.Schwartz "topologie générale et analyse fonctionnelle" chez Hermann éditeur.

Merci beaucoup ! :we:
Mais est-ce que ce livre possède des exercices ? Si non, sais-tu où est-ce qu'on peut trouver des exercices d'entraînement s'il te plaît ? :lol3:

Merci et bonne fin de week-end !

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