Différence inclusion appartenance

[alexis6]

Salut, et bonne année pour commencer!

Voila dans un texte j'ai trouvé ceci:

" Attention à ne pas confondre le symbole d'inclusion et le symbole d'appartenance. Dans le langage courant il est fréquent de dire, par exemple, qu'une droite 'appartient à un plan' alors qu'elle est en fait incluse dans le plan, les éléments du plan étant des points. "

Pourtant je ne comprends toujours pas la différence entre l'appartenance et l'inclusion. L'appartenance d'un élément à un ensemble c'est le fait que cet élément fait parti de cet ensemble, autrement dit qu'il est un élément de cet ensemble. Et l'inclusion, c'est pour deux ensembles, si l'un à tous ses éléments qui appartiennent à l'autre, alors dans ce cas il est inclus dans celui-ci.

Ici la droite est un ensemble de points, on est donc dans le cas d'une inclusion, puisque l'on parle d'un ensemble dans un autre ensemble et non pas d'élément. Mais il y a quand même quelque-chose qui m'échappe: on m'a personnellement toujours dit qu'un ensemble pouvait être réduit à un élément, par exemple l'intervalle [0;1] peut être réduit à un élément si on considère l'ensemble des intervalles de R. Or dans ce cas, si un ensemble peut être réduit à un élément, ne peut on pas parler d'appartenance? Pourquoi distinguer inclusion et appartenance dans ce cas là?

Merci pour toute réponse!

[Sake]

Salut, et bonne année pour commencer!

Voila dans un texte j'ai trouvé ceci:

" Attention à ne pas confondre le symbole d'inclusion et le symbole d'appartenance. Dans le langage courant il est fréquent de dire, par exemple, qu'une droite 'appartient à un plan' alors qu'elle est en fait incluse dans le plan, les éléments du plan étant des points. "

Pourtant je ne comprends toujours pas la différence entre l'appartenance et l'inclusion. L'appartenance d'un élément à un ensemble c'est le fait que cet élément fait parti de cet ensemble, autrement dit qu'il est un élément de cet ensemble. Et l'inclusion, c'est pour deux ensembles, si l'un à tous ses éléments qui appartiennent à l'autre, alors dans ce cas il est inclus dans celui-ci.

Ici la droite est un ensemble de points, on est donc dans le cas d'une inclusion, puisque l'on parle d'un ensemble dans un autre ensemble et non pas d'élément. Mais il y a quand même quelque-chose qui m'échappe: on m'a personnellement toujours dit qu'un ensemble pouvait être réduit à un élément, par exemple l'intervalle [0;1] peut être réduit à un élément si on considère l'ensemble des intervalles de R. Or dans ce cas, si un ensemble peut être réduit à un élément, ne peut on pas parler d'appartenance? Pourquoi distinguer inclusion et appartenance dans ce cas là?

Merci pour toute réponse!

Salut,

L'univers, ici associé à R², a pour éléments des vecteurs (que l'on peut associer à des points en géométrie affine). Ceci explique qu'une droite, constituée de points, est une partie de R² sans en être un élément.

[DamX]

Bonsoir et bonne année !

Deux choses :
1) généralement, quand on dit qu'un ensemble E est réduit à un élément (noté x), cela signifie qu'il contient un seul élément, pas qu'il "est" cet élément, car cela reste un ensemble.
Cela signifie donc E = {x}, mais on n'a absolument pas E=x. On dit également que E est le singleton {x} dans ce cas.
Il y a toujours ainsi une différence conceptuelle entre un ensemble ("sac contenant des éléments") et ses éléments, même s'il n'en contient qu'un seul.

2) dans l'exemple que tu cites, ce n'est pas le cas du 1) qui arrive et je n'ai jamais entendu parler de "réduit à un élément" dans le contexte que tu évoques. Par contre, si je trouve la formule étrange le concept derrière est totalement vrai, [0,1] peut être "vu" (et non réduit) comme un élément des parties de R. Dans ce cas, cest que l'on considère un "sac de sacs", un ensemble d'ensemble : l'ensemble des parties de R, donc chaque élément est par définition une parties de R, c'est à dire un ensemble d'éléments de E. On peut imaginer comme cela des ensembles en cascades autant que l'on veut. Pour visualiser sur un cas très simple : on considère E = {1,2} puis P(E) = {vide, {1}, {2}, {1,2}}.
Dans cet exemple on voit que {1,2} est un ensemble qui contient les éléments 1 et 2, mais c'est en Meme temps un élément de l'ensemble P(E). Aucune contradiction !

Donc on peut écrire




Mais pas ou par exemple.

En espérant que ca aide !

[alexis6]

Bonsoir et bonne année !

Deux choses :
1) généralement, quand on dit qu'un ensemble E est réduit à un élément (noté x), cela signifie qu'il contient un seul élément, pas qu'il "est" cet élément, car cela reste un ensemble.
Cela signifie donc E = {x}, mais on n'a absolument pas E=x. On dit également que E est le singleton {x} dans ce cas.
Il y a toujours ainsi une différence conceptuelle entre un ensemble ("sac contenant des éléments") et ses éléments, même s'il n'en contient qu'un seul.

2) dans l'exemple que tu cites, ce n'est pas le cas du 1) qui arrive et je n'ai jamais entendu parler de "réduit à un élément" dans le contexte que tu évoques. Par contre, si je trouve la formule étrange le concept derrière est totalement vrai, [0,1] peut être "vu" (et non réduit) comme un élément des parties de R. Dans ce cas, cest que l'on considère un "sac de sacs", un ensemble d'ensemble : l'ensemble des parties de R, donc chaque élément est par définition une parties de R, c'est à dire un ensemble d'éléments de E. On peut imaginer comme cela des ensembles en cascades autant que l'on veut. Pour visualiser sur un cas très simple : on considère E = {1,2} puis P(E) = {vide, {1}, {2}, {1,2}}.
Dans cet exemple on voit que {1,2} est un ensemble qui contient les éléments 1 et 2, mais c'est en Meme temps un élément de l'ensemble P(E). Aucune contradiction !

Donc on peut écrire




Mais pas ou par exemple.

En espérant que ca aide !

Salut,

Merci pour cette dernière réponse. J'avoue que c'est plus clair la... En gros si je résume ( corrigez moi si j'ai faux ) :
- l'appartenance c'est un élément dans un ensemble
- l'inclusion c'est un ensemble dans un ensemble
- un ensemble ne peut être réduit à un élément, et {x} différent de x,
- quand on définit un ensemble dont les éléments sont des ensembles, comme P(E), alors un ensemble peut être réduit à un élément et on doit alors parler d'appartenance

[DamX]

Salut,

Merci pour cette dernière réponse. J'avoue que c'est plus clair la... En gros si je résume ( corrigez moi si j'ai faux ) :
- l'appartenance c'est un élément dans un ensemble
- l'inclusion c'est un ensemble dans un ensemble
- un ensemble ne peut être réduit à un élément, et {x} différent de x,
- quand on définit un ensemble dont les éléments sont des ensembles, comme P(E), alors un ensemble peut être réduit à un élément et on doit alors parler d'appartenance

Humm.. Cest globalement bon mais à ta formulation jai un doute si cest encore tout à fait clair pour toi.
- L'inclusion c'est quand on a un ensemble qui est une sous-partie d'un ensemble plus gros, c'est à dire que si A inclus dans B, tous les éléments de A sont aussi dans B.
- L'expression "réduit à" ne signifie pas une action effectuée sur un ensemble(on ne réduit pas l'ensemble) mais veut juste dire que l'ensemble que l'on manipule contient très peud'elements : ensemble réduit à un singleton = ensemble qui ne contient qu'un unique élément. C'est juste une formulation.

Damien

[Sa Majesté]

Pour compléter l'explication de DamX, je renvoie vers un post de Ben314
http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=1060191#post1060191

[beagle]

Le plan doit pouvoir ètre défini comme l'ensemble des droites parallèles à une droite donnée.
Alors chaque droite "est réduite " à un élément du plan.
Non?

[alexis6]

Ok, merci pour ces réponses! Les post de Damx et de Ben étaient très instructifs en autre!