Devoir spé maths TS

[sg33]

bonjour,
je souhaiterai un peu d'aide concernant un devoir.

Ex I:
1) résoudre l'équation x^3 - y^3=127
pour cette question je montre que 127 est premier, puis je factorise x^3 - y^3, et en montrant que l'un des deux facteurs doit étre égal à 1 et l'autre a 127 forcément, je trouve au final que l'équation n'admet pas de solution. Je pense que le début de ma démarche est convenable mais pour le résultat final je doute....

2)soit p un nombre premier et n un entier naturel, déterminer la somme des diviseurs positifs de p^n.
ici le trouve: S= (1-p^(n+1))/(1-p) est ce juste ?

EX II:
on ajoute n entiers consécutifs. On note S la somme obtenue.
1) Montrer que la propriété "si n est pair, alors S est divisible par n" est fausse.
ici je vais faire un contre-exemple

2) montrer que si n est pair (n=2k), alors le reste de la division euclidienne de S par n est égale à k.

3) en déduire que si n est impair, alors S est un multiple de n.

pour les questions 2) et 3) j'aimerai bien avoir qq pistes...

Merci beaucoup d'avance !

[SaintAmand]

Bonjour,

2) montrer que si n est pair (n=2k), alors le reste de la division euclidienne de S par n est égale à k.

Simplifier et développer S.

[sg33]

Pour la simplifier, dois-je ici utiliser l'expression de la somme d'une suite arithmétique ?
Parce que j'essaie de différentes façons mais quelque soit l'expression de S que je trouve il me reste toujours le premier terme donc je n'arrive pas à retrouver k comme reste de la division euclidienne.
Par exemples:
Soit S = x + (x+1) + (x+2)...+ (x+(n-1))

donc S = nx + n(0+(n-1))/2

ou S = n(x+x+(n-1))/2

Merci d'avance