TS (dernière question d'un exercice).

[Anonyme]

Bonjour, voilà, j'avais déjà commencé l'exercice qui suit, mais je
n'avais pas su faire la dernière question:

Soit (C) la courbe représentative de f.
1. Déterminer son ensemble de définition.
2. Déterminer les limites aux bornes de l'ensembl de défenition.
3. Montrer que la droite (D) d'équation y = 3x - 2 est asymptote à (C).
4. Préciser la position relative de (C) par rapport à (D).
5. Montrer que le point A de coordonées (-2 ; -3) est centre de symétrie
de (C).



1.
f(x) = (3x² - 14x + 11) / (x- 4)

Valeurs interdites:
x=4

D'où:
L'ensemble de définition:
]-oo ; 4 [ u ]4 ; +oo[

(oo = infini).

2.
lim f(x) :
x-> -oo

lim (3x² - 14x + 11) = lim 3x² = +oo
x-> -oo x-> -oo

(Règle utilisée: la limite d'un polynôme en ± l'infinie est égale à la
limite en ± l'infinie du terme du plus haut degré).

lim (x - 4) = -oo
x-> -oo


On fait le quotient:
lim f(x) = Forme indéterminée (l'infinie sur l'infinie).
x-> -oo

On met x en facteur:
(x² ( 3 - 14/x + 11/x²)) / (x ( 1-(4/x)))

On simplifie par x:
(x ( 3 - 14/x + 11/x²)) / (1 - 4/x)

lim (x ( 3 - 14/x + 11/x²)) = -oo
x-> -oo

lim 1 - 4/x = 1
x-> -oo

on fait le quotient:
lim (f(x) = -oo
x-> -oo

Même raisonnement pour x-> +oo et on trouve:
lim f(x) = +oo
x-> + oo

3.
La droite (D) d'équation 3x-2 est asymptote à (C) si:
lim (f(x) - (3x-2)) = 0

f(x) - (3x-2) = [(3x² - 14x + 11) / (x- 4)] - [(3x² - 12x - 2x + 8) /
(x -
4)]

= 3 / (x-4)

lim 3/(x-4) = 0
x-> ± oo

La droite (D) est bien asymptote à (C).
(On peut même ajouter Asymptote Oblique).

4.
J'ai fait ceci, mais ne suis pas sûr de la méthode à utiliser:

x____________|-oo_________4__________+oo_
| |
f(x)_________|_____+______|_____+________
| |
3x-2 ________|_____-______|_____+________
| |
f(x) - (3x-2)| - | +



Donc la droite (D) serait au dessous de (C) quand x<4
et au dessus de (C) quand x>4.






5.Je ne sais pas comment faire.


(L'exercice avait déjà été vu. Mais je n'arrive toujours pas à faire la
cinquième question, je ne sais pas comment procéder).




Merci d'avance.

[Anonyme]

"Alexandre" a écrit dans le message de news:
4186c079$0$17757$626a14ce@news.free.fr...

> 5. Montrer que le point A de coordonées (-2 ; -3) est centre de symétrie
> de (C).

Il faut faire un changement d'origine du repère.
Ta fonction actuelle est x-> f(x) = y dans le repère actuel.

Tu prends un nouveau repère avec pour origine le point A de l'ancien repère,
et les mêmes vecteurs de base
ce qui revient à poser : x = X - 2 et y = Y - 3

Après calculs, la courbe C (qui n'a pas changé) est dans le nouveau repère
la représentation d'une nouvelle fonction
X -> F(X) = Y (il faut faire le calcul pour trouver l'expression de F)

Il ne te reste plus qu'à montrer que F est impaire.

Daniel

[Anonyme]

Alexandre demande:

> 2. Déterminer les limites aux bornes de l'ensembl de défenition.

A tu étudié les limites en 4 (par valeur supérieure, par valeur
inférieure) ?

[Anonyme]

"Daniel" a écrit dans le message
de news: 41873784$0$31253$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "Alexandre" a écrit dans le message de news:
> 4186c079$0$17757$626a14ce@news.free.fr...
>[color=green]
>> 5. Montrer que le point A de coordonées (-2 ; -3) est centre de symétrie
>> de (C).
>
> Il faut faire un changement d'origine du repère.
> Ta fonction actuelle est x-> f(x) = y dans le repère actuel.
>
> Tu prends un nouveau repère avec pour origine le point A de l'ancien
> repère,
> et les mêmes vecteurs de base
> ce qui revient à poser : x = X - 2 et y = Y - 3
>
> Après calculs, la courbe C (qui n'a pas changé) est dans le nouveau repère
> la représentation d'une nouvelle fonction
> X -> F(X) = Y (il faut faire le calcul pour trouver l'expression de F)
>
> Il ne te reste plus qu'à montrer que F est impaire.
>
> Daniel
>
>[/color]
Si F est impaire, il y a un axe de symétrie, pas un centre de symétrie ...

[Anonyme]

"Alexandre" a écrit dans le message de news:
4186c079$0$17757$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour, voilà, j'avais déjà commencé l'exercice qui suit, mais je n'avais
> pas su faire la dernière question:
>
> Soit (C) la courbe représentative de f.
> 1. Déterminer son ensemble de définition.
> 2. Déterminer les limites aux bornes de l'ensembl de défenition.
> 3. Montrer que la droite (D) d'équation y = 3x - 2 est asymptote à (C).
> 4. Préciser la position relative de (C) par rapport à (D).
> 5. Montrer que le point A de coordonées (-2 ; -3) est centre de symétrie
> de (C).

A priori, le centre de symétrie devrait être le point d'intersection des 2
asymptotes (y=3x-2) et (x=4) soit le point (4,10) ...

Pour le 4) étudier le signe de f(x) - (3x-2)

[Anonyme]

Oui, j'ai fait les limites quand x-> 4 par valeur inféreur et supérieur,
mais je me suis tromper quand je l'ai coller.

Merci.

[Anonyme]

"Christian" a écrit dans le message de news:
sDIhd.11215$1p.9315@nntpserver.swip.net...

> Si F est impaire, il y a un axe de symétrie, pas un centre de symétrie ...

En êtes-vous bien certain ?

Daniel

[Anonyme]

"Daniel" a écrit dans le message
de news: 41875f81$0$31373$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "Christian" a écrit dans le message de news:
> sDIhd.11215$1p.9315@nntpserver.swip.net...
>[color=green]
>> Si F est impaire, il y a un axe de symétrie, pas un centre de symétrie
>> ...
>
> En êtes-vous bien certain ?
>
> Daniel
>
>[/color]
Pardon, vous avez raison, j'avais lu "paire" !

Cela étant, je ne pense pas que le point indiqué soit centre de symétrie de
la courbe en question ...

[Anonyme]

"Christian" a écrit dans le message de news:
_LJhd.11239$1p.9307@nntpserver.swip.net...

> Pardon, vous avez raison, j'avais lu "paire" !
>
> Cela étant, je ne pense pas que le point indiqué soit centre de symétrie
de
> la courbe en question ...


Effectivement, c'est confus. Si la fonction est bien x -> (3x² - 14x + 11) /
(x- 4), le centre de symétrie est le point (4, 10).
Il suffit d'adapter ce que j'ai écrit.

Daniel

[Anonyme]

Alexandre a écrit:
> Bonjour, voilà, j'avais déjà commencé l'exercice qui suit, mais je
> n'avais pas su faire la dernière question:
>
> Soit (C) la courbe représentative de f.
> 1. Déterminer son ensemble de définition.
> 2. Déterminer les limites aux bornes de l'ensembl de défenition.
> 3. Montrer que la droite (D) d'équation y = 3x - 2 est asymptote à (C).
> 4. Préciser la position relative de (C) par rapport à (D).
> 5. Montrer que le point A de coordonées (-2 ; -3) est centre de symétrie
> de (C).
>
>....
>
>
> 5.Je ne sais pas comment faire.
>

Tu changes de variables en remplacant x par X=x+2 et tu fais apparaitre
Y=y+3 dans le calcul ; dans ces coordonnées, Y(-X) doit valoir -Y(X) ...


> Merci d'avance.

[Anonyme]

"Alexandre" a écrit dans le message de news:
41875f4f$0$16652$626a14ce@news.free.fr...
> Oui, j'ai fait les limites quand x-> 4 par valeur inféreur et supérieur,
> mais je me suis tromper quand je l'ai coller.
>
> Merci.

En complément à toutes les réponses que tu as obtenues, et si le changement
de repère ou de variable te pose problème, tu peux raisonner comme ceci :

Soit (x, f(x)) un point du graphe de f. Quelle est son image par la symétrie
de centre (4; 10) ?

C'est (8 - x, 20 - f(x)).

Il reste à vérifier que ce point se trouve encore sur le graphe,
c'est-à-dire que f(8 - x) = 20 - f(x) (un point (x; y) est sur le graphe si
et seulement si y = f(x)).

Cela fait de gros calculs, mais on aboutit aussi.

[Anonyme]

L'énoncé a été modifié à cause de l'erreur.
La question 5 est:
Montrer qu'il y a un centre de symétrie.

Je ne sais pas si la méthode fonctionne toujours puisqu'on ne sait plus
rien.