Dérivés dm

par **lalane** » 04 Fév 2007, 21:07

Bonsoir, un pb pour mon dm de maths sur les dérivés :

Lorsque 2 véhicules roulent à une mm vitesse de v km/h, les experts de la prévention routière estiment que, pour des conditions optimales de sécurité, la disatnce les séparant, appelée « distance de sécurité » doit etre égale a d mètre, où d est donné par la formule d = (v(50+v))/200.

j'ai réussi la question 1

2)Sur une autoroute fort empruntée, un appareil placé sur le coté de la route mesure le nbr de véhicules passant en un pt donné.
On suppose que les automobiles circulent toutes à la mm vitesse en une file ininterrompue, que chaque voiture mesure troi mètres de long et que la distance séparant deux véhicules consécutifs est égale à la distance de sécurité.

A/ Montrer que, quand les voitures se déplacent toutes à v km/h en respectant la distance de sureté, le temps séparant le passage d'un véhicule et le suivant est (en h) : t = (d+3)/1000v

je n'y arrive pas

B/ Exprimer t en fonction de v uniquement.
En déduire que, quand les voitures se déplacent toutes à v km/h en respectant la disantce de sureté, le nbr N(v) de véhicules passant devant l'appareil en une heure est donné par :
N(v) = (200 000v)/(v² + 50v + 600)

ici non plus

3) On note N la fonction définie sur [0 ; 150] par : N(x) = 200 000x / x²+50x+600

a/ Pour quelle(s) vitetesse(s), 1000 véhicules sont passés en 1heure ?

je ne vois pas quoi utiliser

b/ Montrer que, pour tout 0 \< x \< 150 :
N'(x) = (200 000 (600-x²))/(x²+50x+600)²

ceci j'ai réussi en utilisant u(x) et v(x)

Dresser le tableau de variation de la fonction N sur [0 ; 150]

j'ai essayé cependant je ne trouve pas de valeur qui annule N... 0 ou -30 ou -20

4) Il faut ensuite que je remplisse un tableau de valeurs avec la valeur de la vitesse donné, il faut que je trouve le nombre de véhicules passant en une heure

qu'utilis je comme formule ?

merci pour votre aide !

par **annick** » 04 Fév 2007, 22:37

Bonsoir,
Pour la question 2, la distance entre le début du capot de la première voiture et le début du capot de la voiture suivante est 3+d . La vitesse étant en km/h et le temps en heure, il faut exprimer cette distance en km, soit
(3+d)/1000
v=l/t d'où t=l/d, soit dans le cas présent t=(3=d)/1000v

par **lalane** » 04 Fév 2007, 22:41

en effet, merci pour ses indications. Pourriez vous m'aider pour la suite s'il vous plait ?

par **annick** » 04 Fév 2007, 22:44

pour exprimer t uniquement en fonction de V, il suffit de remplacer d dans la formule de t par ce qui t'était donné au départ : d = (v(50+v))/200

par **lalane** » 04 Fév 2007, 22:47

on obtient donc t = (v(50+v))/200 000 v ?

par **lalane** » 04 Fév 2007, 22:48

j'ai oublié le +3 je crois

par **annick** » 04 Fév 2007, 22:57

c'est ça tu as oublié le 3, donc tu dois obtenir t=(v²+50v+600)/200000v une fois que tu as tout arrangé

par **lalane** » 04 Fév 2007, 23:05

comment obtient on le 600 ? au numérateur il y a juste v(50+v) + 3 non ?

et je ne vois pas par quoi passer non plus pour déduire que le nbr N(v) de véhicules est l'inverse de la fraction trouvée précedemment..

par **lalane** » 04 Fév 2007, 23:08

en fait c'est bon ^^ je viens de trouver pour le 600

mais pas pour N(v)

par **annick** » 04 Fév 2007, 23:13

le temps pour N véhicules est t=N((v²+50v+600)/200000v)
Donc si t=1 alors N=1/((v²+50v+600)/200000v)=...

par **lalane** » 04 Fév 2007, 23:17

en effet, merci beaucoup. Il ne este plus que la question 3 si vous avez le tps..

par **annick** » 04 Fév 2007, 23:21

pour la 3a) tu as N=1000 ce qui te donnes une équation du second degré en x à résoudre

par **annick** » 04 Fév 2007, 23:25

pour la 3b) tu as

N'(x) = (200 000 (600-x²))/(x²+50x+600)²
N'=0 si le numérateur est nul, soit 600-x²=0
c'est de la forme a²-b² donc

600-x²=(V600-x)(V600=x) (V veut dire racine carrée)

donc cela va s'annuler pour x=V600 et x=-V600
là il faut que tu regardes ton domaine pour savoir si ces deux valeurs sont dedans et tu peux ensuite dresser le tableau de variation en faisant attention au signe

par **lalane** » 04 Fév 2007, 23:28

si on remplace x par 1000 (je ne sais pas si c'est la bonne méthode...) on obtient une vitesse d'environ 190 km/h.. :hein:

par **lalane** » 04 Fév 2007, 23:33

pour la 3)b), on prend donc la valeur V600 pour laquelle x s'annule, on trouve alors pour le signe de N(x) entre 0 et V600 : -
et entre V600 et 150 : + ?

par **annick** » 04 Fév 2007, 23:40

pour la 3a), ce n'est pas x que tu remplaces, mais N puisqu'on te dis 1000 véhicules, ce n'est pas une vitesse, c'est N!!!

par **lalane** » 04 Fév 2007, 23:44

je ne vois pas comment remplacer N afin d'avoir une équationde second degré aussi :S

par **annick** » 04 Fév 2007, 23:47

N(v) = (200 000v)/(v² + 50v + 600)
donc si n=1000 on a

1000= (200 000v)/(v² + 50v + 600) soit en simplifiant

v²+50v+600=200v

par **lalane** » 04 Fév 2007, 23:51

donc je résou v² + 50v + 600 = 0 ?
et qu'advient il du 200 v ?

par **lalane** » 04 Fév 2007, 23:54

en faisant ca, on trouve -30 et -20, ce qui n'est pas possible pour une vitesse :S

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