Dérivées

[Nugjia]

Bonjour,
j'ai du mal avec les dérivées, si une âme charitable veut bien m'aider à comprendre je lui en serais reconnaissant. Je ne veux pas que vous fassiez l'exercice à ma place mais j'aimerais que vous me disiez si je suis dans la bonne voie et dans le cas contraire que vous m'aidiez à comprendre.

Voila l'exercice:
Soit f la fonction défini sur [-2;4] par f(X)=1/3X^3-X^2+X-1; on note C sa courbe représentative dans la plan rapporté au repère orthogonal (unités graphiques: 2cm en abscisse et 1cm en ordonnée).

1)Calculer f'(X) et étudier son signe.

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Voilà ce que j'ai fais:
f'(X)=X^2-2X+1

étude de signe:
X | -2 1/2 4
X^2 | - | +
-2X+1 | - 0 +
X^2-2X+1 | + 0 +

f'(X)>= 0 ; f est donc strictement croissante sur [-2;4]

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2) Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation

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Ce que j'ai fais:
f(-2)= -29/3
f(1/2)= -17/24
f(4)= 25/3

X | -2 1/2 4
f'(X) | + 0 +
f(X) | flèche qui monte entre -2 et 1/2 et idem entre 1/2 et 4 (désolé je ne sais pas comment faire sur l'ordinateur)

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3) Déterminer les points de C en lesquels la tangente est parallèle à la droite d'équation y=X; déterminer les équations de ces tangentes.

4) Montrer que l'équation f(X)=0 possède une unique solution, notée a, dans l'intervalle [-2;4]; déterminer un encadrement de a, d'amplitude 0.1, après avoir complété le tableau suivant:
X | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 2.4
f(X) | | | | |

5) Tracer les tangentes déterminées à la question 3 et C.

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Je n'ai pas commencé les 3dernières questions car j'ai l'impression que mes 2 premières réponses sont bancales, pouvez vous m'aider s'il vous plait.
Merci d'avance.

[maturin]

alors l'étude de signe de f' c'est du n'importe quoi.

f'(x)=x²-2x+1 ne reconnais tu pas une identité remarquable ?

x² est positif sur [2;4]
-2x+1 est positif sur [-2;1/2] puis négatif sur [1/2;4]
et comme tu ne sais pas le signe d'une addition de '+' et de '-' tu ne t'en sors pas via ce biais. Utilise l'identité remarque.
tu verras que f'(x) ne s'annule pas en x=1/2 mais en x=...

f est strictement croissante quand f' > 0
Ce qui n'est pas le cas sur [-2;4]
F sera strictement croissante puis fera un palier (tangeante horizontal) puis de nouveau strictement croissante.

Sinon c'est bien de calculer les valeurs aux limites et les valeurs aux points particuliers (meme si comme dit plus haut le point particulier n'est pas en 1/2)

[Nugjia]

J'ai essayé sa:
X|||||||||| -2|||||-1|||||2|||||4
1+X||||||||||||-|||0||+|||||+|||
(X-2)|||||||||||-||||||-||0||+|||
1+X(X-2)|||||||+|||0||-||0||+|||

Je suis toujours dans le faux ?

[maturin]

non pour trouver un signe il faut factoriser.
Et là pour factoriser il faut reconnaitre l'identité remarquable.

Sinon essaie de calculer f'(x) pour plusieurs points tu verras que ton résultat est faux.

[Nugjia]

Je retente, donc factoriser X^2-2X+1:
=(1+X)^2-2X
??

[Ericovitchi]

X^2-2X+1 --> ne reconnais tu pas la forme (X-1)² ?

[Nugjia]

Ah non, j'avais pas vu sa comme sa. J'ai du mal à me remettre dans le bain.
Donc ensuite on débouche sur:
X|||||||||| -2|||||1||||||4
(X-1)^2||||||||+||0||+||||

C'est mieux ?
Merci de votre aide en tout cas :) .

[Nugjia]

Quelqu'un pourrait il me répondre svp.

[Nugjia]

Je n'arrive pas à cerner la Q3, quelqu'un peut m'éclairer ?

[Ericovitchi]

La pente de la tangente en un point c'est la valeur de la dérivée de la fonction en ce point.

Donc pour qu'un point ait une tangente parallèle à y=x il suffit que la valeur de la dérivée de la fonction soit 1. Donc cherches tous les points où la dérivée vaut 1.

[Nugjia]

Ce sont bien les points 0 et 2 ?

[Ericovitchi]

oui c'est ça.
mais rappelles toi que l'on te demande les équations des tangentes