DM dérivées

[mbh]

Bonjour, je suis en terminale ES et j'aimerais que quelqu'un m'aide pour ce DM de maths, j'ai répondu aux questions mais je ne suis pas du tout sure des résultats trouvés.
Enoncé:
On a recensé ci-dessous la superficie de l'espace urbain en France, en millier de km², depuis 1954.

Années 1954 ; 1968 ; 1975 ; 1982 ; 1990 ; 1999 ; 2007

Superficie 41.1 ; 68.9 ; 76.3 ; 83.4 ; 89.6 ; 100 ; 118.8
urbaine

Une modélisation consiste à estimer la superficie urbaine S(x, en millier de km² par :
S(x)=0,001x(cube)-0,09x²+ 3,6x + 28,
où x est le nombre d'années écoulées depuis 1950.

(Il y a ensuite une courbe de type x(cube). Sur l'axe des abscisses (de x) est le nombre d'années depuis 1950 donc 1950 dans l'axe des abscisses représente 0, 10 représente 1960, 20 pour 1970 et ainsi de suite..)

On suppose que le modèle reste valable jusqu'en 2020, c'est à dire pour x (appartenant à) [0;70].
Le rythme de croissance instantané de la superficie est assimilé à la dérivée de S.

1. a) Calculer la valeur estimée de la superficie urbaine en 1990, à l'aide de ce modèle.
b) Calculer le pourcentage d'erreur par rapport à la valeur effective de la superficie urbaine en 1990.
c)Estimer la superficie urbaine en 2015.

2. a) Calculer S'(x) puis S"(x).
b) Justifier que la fonction S est croissante sur [0;70]. Interpréter le résultat.

3. Au cours de quelle année le rythme de croissance est il le plus faible? Que représente cette année pour la fonction S? Retrouver graphiquement le résultat.

4. On a pu lire le commentaire suivant à propos de recensement de la superficie urbaine:
"Le rythme de croissance de l'espace urbain entre les recensements de 1999 et 2007 a été plus important que lors des décennies précédentes, et se rapproche de ce que l'on avait connu dans les années 1950-1960."



Mes réponses:

1. a) S(40)= 0.001*40(cube) - 0.09 * 40² + 3.6*40 +28
= 92

b) S(40)= 92 mais dans le tableau la superficie urbaine en 1990 est de 89.6 donc le pourcentage d'erreur est : (92-89.6)/89.6 = 2.68

c) S(65) = 0.001*65(cube)-0.09*65²+3.6*65+28
= 156.4

2. a) S'(x) = 0.001*3x²-0.09*2x+3.6
= 0.003x² -0.18x +3.6

S"(x) = 0.006x-0.18

Voila, a partir de la je bloque..
Merci à ceux qui m’aideront !

[Manny06]

Bonjour, je suis en terminale ES et j'aimerais que quelqu'un m'aide pour ce DM de maths, j'ai répondu aux questions mais je ne suis pas du tout sure des résultats trouvés.
Enoncé:
On a recensé ci-dessous la superficie de l'espace urbain en France, en millier de km², depuis 1954.

Années 1954 ; 1968 ; 1975 ; 1982 ; 1990 ; 1999 ; 2007

Superficie 41.1 ; 68.9 ; 76.3 ; 83.4 ; 89.6 ; 100 ; 118.8
urbaine

Une modélisation consiste à estimer la superficie urbaine S(x, en millier de km² par :
S(x)=0,001x(cube)-0,09x²+ 3,6x + 28,
où x est le nombre d'années écoulées depuis 1950.

(Il y a ensuite une courbe de type x(cube). Sur l'axe des abscisses (de x) est le nombre d'années depuis 1950 donc 1950 dans l'axe des abscisses représente 0, 10 représente 1960, 20 pour 1970 et ainsi de suite..)

On suppose que le modèle reste valable jusqu'en 2020, c'est à dire pour x (appartenant à) [0;70].
Le rythme de croissance instantané de la superficie est assimilé à la dérivée de S.

1. a) Calculer la valeur estimée de la superficie urbaine en 1990, à l'aide de ce modèle.
b) Calculer le pourcentage d'erreur par rapport à la valeur effective de la superficie urbaine en 1990.
c)Estimer la superficie urbaine en 2015.

2. a) Calculer S'(x) puis S"(x).
b) Justifier que la fonction S est croissante sur [0;70]. Interpréter le résultat.

3. Au cours de quelle année le rythme de croissance est il le plus faible? Que représente cette année pour la fonction S? Retrouver graphiquement le résultat.

4. On a pu lire le commentaire suivant à propos de recensement de la superficie urbaine:
"Le rythme de croissance de l'espace urbain entre les recensements de 1999 et 2007 a été plus important que lors des décennies précédentes, et se rapproche de ce que l'on avait connu dans les années 1950-1960."



Mes réponses:

1. a) S(40)= 0.001*40(cube) - 0.09 * 40² + 3.6*40 +28
= 92

b) S(40)= 92 mais dans le tableau la superficie urbaine en 1990 est de 89.6 donc le pourcentage d'erreur est : (92-89.6)/89.6 = 2.68

c) S(65) = 0.001*65(cube)-0.09*65²+3.6*65+28
= 156.4

2. a) S'(x) = 0.001*3x²-0.09*2x+3.6
= 0.003x² -0.18x +3.6

S"(x) = 0.006x-0.18

Voila, a partir de la je bloque..
Merci à ceux qui m’aideront !

cherche la valeur qui annule s"
fais un tableau pour etudier les variations de S'
calcule le minimum de S'

[Anonyme]

@Manny06

Trace le tableau de variation de la fonction S' définie par S'(x) = 0.003x² -0.18x +3.6

et tu va pouvoir "lire" la valeur du nombre x pour laquelle le nombre S'(x) est minimal

[mbh]

voilà c'est fait !