Dérivées

par **skater41** » 07 Mar 2010, 18:25

Bonsoir !

Voilà j'ai un DM à faire pour demain et j'ai un exercice dans lequel je ne sais pas par quoi commencer du tout !

Soit a un réel donné et f la fonction définie sur R par f(x)=ax^3+2x²+x-1
Pour quelles valeurs de a, la fonction f est-elle strictement croissante sur R ?

Je pense qu'il faut exprimer le résultat sous forme d'ensemble de solution, mais à part ça aucune idée :briques:

J'espère que vous pourrez m'aider, merci.

par **Black Jack** » 07 Mar 2010, 18:34

f(x) est dérivable sur R.

Quelle est la condition sur f '(x) (dérivée première de f(x) par rapport à la variable x) pour que f(x) soit strictement croissante sur R ?

f '(x) = ...

:zen:

par **Ericovitchi** » 07 Mar 2010, 18:34

pour qu'elle soit strictement croissante, il faut que sa dérivée soit toujours positive

par **skater41** » 07 Mar 2010, 19:45

f'(x)=3ax²+4x+1

Faut que a soit, soit positif, soit négatif ?

EDIT: ah bah non je suis bête ... Vu que la dérivée contient un carré, c'est toujours positif, donc pour toutes valeurs de a f est strictement positive sur R. Est-ce bien ça ?

(Ton pseudo à un rapport avec l'acteur et chanteur de Tenacious D ? ^^)

par **Sa Majesté** » 07 Mar 2010, 20:03

skater41 a écrit:f'(x)=3ax²+4x+1

Oui

skater41 a écrit:EDIT: ah bah non je suis bête ... Vu que la dérivée contient un carré, c'est toujours positif, donc pour toutes valeurs de a f est strictement positive sur R. Est-ce bien ça ?

Pas du tout, une parabole peut couper l'axe des abscisses et passer dans les y négatifs

par **skater41** » 07 Mar 2010, 20:05

Ah oui, dans le cas ou f'(x) aurait plusieurs solutions ...

Mais alors comment faire pour dresser un tableau de variations ?

par **Sa Majesté** » 07 Mar 2010, 20:07

Commence par trouver les cas où f'(x)=0 admet une ou plusieurs solutions

par **skater41** » 07 Mar 2010, 20:18

J'ai trouvé deux solutions, donc tu as raison, il y a bien un moment ou elle peut être négative.

J'ai comme solutions x=-1 et x=-5/3a
est-ce qu'on peut résoudre l'équation de cette façon ?
3ax²+4x+1=0
3ax²+4x=-1
x(3ax+4)=-1

x=-1 et 3ax+4=-1
3ax=-5
x=-5/3a

En fait c'est le -1 à la place du zéro qui me gène, et je ne suis pas sûr.

par **skater41** » 07 Mar 2010, 20:42

J'ai beau retourner le problème dans tous les sens je ne trouve toujours pas ... :triste:

par **Sa Majesté** » 07 Mar 2010, 20:58

Le discriminant vaut 16-12a
S'il est strictement positif alors f'(x)=0 admet 2 solutions distinctes et alors forcément f'(x) peut prendre des valeurs négatives
S'il est strictement négatif alors f'(x)=0 n'admet pas de solutions et f'(x) est soit positif, soit négatif, ça dépend du signe de 3a donc de a

par **skater41** » 07 Mar 2010, 21:00

Oui il fallait poser b²-4ac=0 en fait !
Ainsi on trouve a, et puis comme delta=0, il n'y a qu'une solution, donc qu'une variation !
J'ai réussi, en tout cas merci de m'avoir mis sur la piste ;)

par **Black Jack** » 09 Mar 2010, 17:55

skater41 a écrit:Oui il fallait poser b²-4ac=0 en fait !
Ainsi on trouve a, et puis comme delta=0, il n'y a qu'une solution, donc qu'une variation !
J'ai réussi, en tout cas merci de m'avoir mis sur la piste

Je serais moins optimiste que toi sur la réussite de ton exercice.

Quelles sont les conditions pour qu'un polynome du second degré (comme f '(x)) soit partout positif ?

Ce n'est sûrement pas que le discriminant de f '(x) = 0 soit nul.

:zen:

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