Dérivée et croissance

[alexis6]

Bonjour,

Voila je me pose une question. Dans mon cours, il est marqué que si une fonction a une dérivée positive sur un intervalle I, alors cette fonction est croissante sur I, et inversement la négativité de la dérivée implique la décroissance de la fonction. Est ce que la réciproque du théorème est-elle également vraie?

Si je prends par exemple la fonction qui à x associe 2x+5. Elle est positive pour tout x > -2.5. Si on prend une primitive, par exemple x^2+5x, elle est effectivement croissante à partir de 2,5. Donc ça a l'air de marcher.

Donc il suffirait de prouver la croissance d'une primitive, pour démontrer la positivité d'une fonction? Ou de toutes les primitives? Finalement, si on prend l'ensemble des primitives, on ajoute une constante k, et cela n'influe pas sur la monotonie non?

[Ellyana]

Bien le bonsoir,
Tu as l'air d'être en terminale puisque tu parles de primitives.
Je suis en 1ère, donc je ne les ai pas encore vues (même si je sais, en gros, ce que c'est...), mais je peux t'assurer que l'implication va dans les deux sens :
Si f'(x)>0 sur I, alors la fonction f est croissante sur I ;
Et si la fonction f est croissante sur I, alors f'(x) est décroissante sur I. J'ai posé la même question à mon prof, et il a répondu que la réciproque était vraie, mais qu'on ne la notait pas dans le cours parce qu'on l'utilisait moins souvent.
Voilà :)

[mathelot]

tu as des fonctions croissantes et négatives.


f(x)=x-10 si x<0
f(x)=-10 si x>=0

[alexis6]

Merci pour ces deux réponses. En effet, je suis en Terminale, et si on utilise très souvent ce théorème pour prouver une monotonie sur un intervalle, on ne l'utilise quasiment jamais concernant le signe.

Et petite correction simplement:
"Et si la fonction f est croissante sur I, alors f'(x) est décroissante sur I."
Si la fonction f est croissante sur I, alors f'(x) est positive sur I non?