Factorielle, croissance comparée

[Bastien L.]

Bonjour!


Il paraît que la fonction factorielle croit plus vite que n'importe-quelle fonction exponentielle. J'en cherche une démonstration, et je ne comprends pas celle que l'on trouve au paragraphe IV de cette page .
Quelqu'un saurait-il m'expliquer?

D'avance, merci! :we: Et bonne journée!

[phryte]

Bonjour.

« Quand x tend vers +inf, exp(x) est un infiniment grand d'ordre supérieur à toute puissance de x ».

Pour faire simple je dirai parce que exp(x) est elle-même sa dérivée et donc croît plus vite que les puissance de x qui ont une dérivée de degré inférieur.

[leon1789]

Bonjour.

Pour faire simple je dirai parce que exp(x) est elle-même sa dérivée et donc croît plus vite que les puissance de x qui ont une dérivée de degré inférieur.

quel rapport avec la question posée ?

Bonjour!


Il paraît que la fonction factorielle croit plus vite que n'importe-quelle fonction exponentielle. J'en cherche une démonstration, et je ne comprends pas celle que l'on trouve au paragraphe IV de cette page .
Quelqu'un saurait-il m'expliquer?

D'avance, merci! :we: Et bonne journée!

Naïvement, il faut peut-être commencer par voir ceci :
e^(n+1) = e. e^n : on ne multiplie que par e = 2.71...
(n+1) ! = (n+1) . n! : on multiplie par n+1 , qui est énorme par rapport à e

[Bastien L.]

Bonsoir, Leon1789,

C'est en effet l'argument de bon sens qui m'est venu à l'esprit. Mais il y a deux "mais". En effet, tout d'abord, on parle de n'importe-quelle fonction exponentielle, même éventuellement celle de base 99999999. Ensuite, il est vrai qu'on multiplie par des nombres de plus en plus grands pour la factorielle, alors que c'est toujours le même pour l'exponentielle… Mais, dès son deuxième terme (si on commence à n=0), l'exponentielle a la valeur de sa base - donc, éventuellement, 99999999, par exemple - alors que la factorielle ne vaut encore que… 1.
Alors, comment prouver que la factorielle va rattraper puis dépasser l'exponentielle? Le bon sens suffit à êre convaincu… Mais…

[nuage]

Salut,
quand n tend vers l'infini il devient plus grand que 99999999.
C'est l'idée de la démonstration donnée par ton lien : jusqu'à 99999999 il est évident que mais est un nombre fini, même si il est grand.
On le multiplie par quelque chose qui tend vers zéro, le résultat tend vers zéro.

[Bastien L.]

Bonjour!

Encore une question, s'il-vous-plaît…

"On le multiplie par quelque chose qui tend vers zéro, le résultat tend vers zéro."
Comment le saît-on?

[nuage]

Bonjour!

Encore une question, s'il-vous-plaît…

"On le multiplie par quelque chose qui tend vers zéro, le résultat tend vers zéro."
Comment le saît-on?

Comme ça :
Soit et une suite telle que

et

[Bastien L.]

Merci, Nuage, pour cette démonstration très claire, et bien écrite! :-) Je me demande: n'est-ce pas, dans la démonstration, pour un "A" "fixé"? Et, donc, a-t-on vraiment définitivement répondu au problème?

[nuage]

or

car