Dénombrement, chaine ternaire

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Minimath
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Dénombrement, chaine ternaire

par Minimath » 28 Juil 2021, 23:49

J'ai "n", un entier >= à 10. Je dois déterminer le nombre de chaines ternaires de longueur "n" qui possèdent au moins trois "0". (chaine ternaire = 3 possibilités pour chaque éléments de la chaine, dans ce cas-ci: 0, 1 ou 2). Le hic: selon notre enseignant, la réponse à ce problème serait "un calcul direct" qui ne contient pas de "n".

J'ai beau chercher, je ne vois pas comment cela est possible. Si je commence avec n=10, j'arrive à 41385 chaines possibles. Si j'ai n=11, j'ai 135675 chaines. Bref, je vois bien que plus "n" augmentent, plus le nombre de chaines possibles est élevé. Sans donner de valeur fixe à "n", et sans le faire tendre vers l'infini, croyez-vous qu'il est possible de donner une réponse à ce problème qui ne contient pas de "n" ?



Vassillia
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Re: Dénombrement, chaine ternaire

par Vassillia » 29 Juil 2021, 00:42

Bonjour, selon l'énoncé de ton problème, il est impossible de donner une réponse qui ne dépend pas de n.

A mon avis, ce qu'il faut comprendre du discours, c'est "calcul direct" au sens pas besoin de faire une "récurrence" donc on peut donner le nombre de chaines de longueur n+1 sans avoir calculé avant le nombre de chaines de longueur n. En tout cas, je n'arrive pas à donner un autre sens à ce type de discours.
Si elle n'est pas réfutable, une idée n'est qu'une fable
(J'ai comme un doute https://www.youtube.com/watch?v=VqwzBeI ... ko&index=1)

Minimath
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Re: Dénombrement, chaine ternaire

par Minimath » 29 Juil 2021, 01:33

Vassillia a écrit:Bonjour, selon l'énoncé de ton problème, il est impossible de donner une réponse qui ne dépend pas de n.

A mon avis, ce qu'il faut comprendre du discours, c'est "calcul direct" au sens pas besoin de faire une "récurrence" donc on peut donner le nombre de chaines de longueur n+1 sans avoir calculé avant le nombre de chaines de longueur n. En tout cas, je n'arrive pas à donner un autre sens à ce type de discours.


Merci! J'ai réussis à trouver une réponse avec une sommation, mais le prof veut une forme close (et sans n??). Il y a des factorielles dans ma sommation. Trouver la forme close dépasse complètement mes compétences actuelles et le niveau de connaissance qu'on est sensé avoir. Je penses que je vais lui remettre avec la sommation. J'ai passé pas mal trop de temps la dessus.

Vassillia
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Re: Dénombrement, chaine ternaire

par Vassillia » 29 Juil 2021, 02:01

Tu peux sans difficulté éviter une sommation de 3 à n.
Essaye donc de calculer le nombre total de chaines ternaires de longueur n en soustrayant le nombre de chaines qui ne vérifient pas la propriété voulue.

C'est un bon réflexe à avoir quand on a une inégalité, toujours prendre le coté où il y a le moins de chose à compter, c'est mon mode flemmarde ;)
Si elle n'est pas réfutable, une idée n'est qu'une fable
(J'ai comme un doute https://www.youtube.com/watch?v=VqwzBeI ... ko&index=1)

lyceen95
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Re: Dénombrement, chaine ternaire

par lyceen95 » 29 Juil 2021, 10:22

Dans la formule que je trouve, apparaît 7 fois. C'est la formule normale, mais en la réécrivant un peu, de façon moins "naturelle", on peut faire en sorte que n'apparaisse que 4 fois, si le but du jeu est que $n$ apparaisse le moins de fois possible.

catamat
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Re: Dénombrement, chaine ternaire

par catamat » 29 Juil 2021, 12:43

Bonjour

On peut même arriver à trois fois avec la forme canonique du trinôme :)

mais c'est juste pour le fun... (oui Vassilia nous fait souvent chercher des minima ou maxima ...)

Vassillia
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Re: Dénombrement, chaine ternaire

par Vassillia » 29 Juil 2021, 17:37

J'adore, merci pour la petite dédicace catamat même si pour l'exercice, je ne pense pas que ce soit le but recherché
Si elle n'est pas réfutable, une idée n'est qu'une fable
(J'ai comme un doute https://www.youtube.com/watch?v=VqwzBeI ... ko&index=1)

Minimath
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Re: Dénombrement, chaine ternaire

par Minimath » 30 Juil 2021, 03:10

Vassillia a écrit:Tu peux sans difficulté éviter une sommation de 3 à n.
Essaye donc de calculer le nombre total de chaines ternaires de longueur n en soustrayant le nombre de chaines qui ne vérifient pas la propriété voulue.

C'est un bon réflexe à avoir quand on a une inégalité, toujours prendre le coté où il y a le moins de chose à compter, c'est mon mode flemmarde ;)


Finalement le prof a éclairci: il veut seulement une forme close (cétait beaucoup de texte pas clair pour une question pourtant simple à écrire). Je vais essayer ton truc, j'avoue que je n'y avais pas pensé. Je me remet dans les maths après plus de 20 ans d'absence des bancs d'école. Les réflexes sont pas mal à refaire :( Merci!

Minimath
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Re: Dénombrement, chaine ternaire

par Minimath » 30 Juil 2021, 03:49

Vassillia a écrit:Tu peux sans difficulté éviter une sommation de 3 à n.
Essaye donc de calculer le nombre total de chaines ternaires de longueur n en soustrayant le nombre de chaines qui ne vérifient pas la propriété voulue.

C'est un bon réflexe à avoir quand on a une inégalité, toujours prendre le coté où il y a le moins de chose à compter, c'est mon mode flemmarde ;)



Ca a fonctionné, merci encore pour ton aide!

 

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