Démontrer, conjecturer suites

[Reznov]

Bonjour voilà j'ai un exercice pour demain mais je suis pas sur d'avoir bon et je suis bloqué à la question 3.

On considère les suites (Un) et (Vn), définies par Uo= 2 et pour tout n sur N,

U_{n+1} =( 5 U_{n} - 3 ) / ( U_{n} +1 )

Vn =( Un - 3 ) / ( Un-1 )



1 Conjecturer une forume explicite pour Vn

2 En déduire une conjecture pour Un

3.La démontrer

Pour la 1, j'ai Vo = -1
V1= -2/4
V2= -4/16

On peut donc conjecturer que Vn = (-1) / (2^n)

Je suis pas sur pour ça, pourrais vous confirmer ?


Pour la 2,, J'ai trouvé que Un = ( Vn-3 ) / ( Vn-1 )

A confirmer également

Pour la 3, je n'y arrive pas car je suis pas sur des réponses précedentes


J'espère avoir des réponses rapidement merci d'avance

[Reznov]

Pour l'instant j'avance un petit peu, pour la 3,

Je pense qu'il faut démontrer par récurence.

[Reznov]

Pour l'instant j'avance un petit peu, pour la 3,

Je pense qu'il faut démontrer par récurrence.

[nodjim]

OK pour 1), mais la démo est aussi rapide que la conjecture, aussi je n'arrive pas bien à suivre le cheminement de l'exo, je suis allé trop vité.
OK pour 2) aussi.

Pour la démo de 1)
Exprime Vn+1 en fonction de Vn, c'est à dire Vn+1=f(Un+1)=f(Un)=f(Vn).

[Reznov]

Quand il demande de démontrer faut-il que je démontre la conjecture de la question 2, ou la 1 et la 2 ?

[nodjim]

La suite Vn est là pour trouver et démontrer ce que vaut Un. Il faut donc t'en servir. Si tu n'avais pas Vn dans l'énoncé, le problème serait bien plus ardu.
V(n+1)= ?

[Reznov]

V(n+1) = ( 5 U_{n} -3 / U_{n+1} ) -3 / ( 5 U_{n} - 3 / U_{n} + 1 ) -1

La barre de fraction que j'ai mise au milieu est la grande barre de fraction. J'arrive pas avec les outils du site :(

[nodjim]

Ben développe maintenant.

[Reznov]

Je dis pas tout mais je suis arrivé là :)

2 Un+3
- ------ (les pointillés sont des barres de fractions )
4 Un-1

[Reznov]

Ou 1/2 si je simplifie 2/4

Et je suis pas sur, mais je crois que c'est plutôt

1 Un-3
- -----
2 Un-1

[nodjim]

Et donc vis à vis de Vn ?

[Reznov]

Donc on a:
1/ 2 Vn
Avec Vo = -1

Donc Vn = -1 * (1/2)^n

C'est ça ?

[nodjim]

Oui. Tu en déduis alors directement Un.

[Reznov]

Ok donc equation

Vn(Un-1) = Un-3
VnUn-Vn = Un - 3
VnUn - Un = Vn -3
Un(Vn-1) = Vn -3
Un = ( Vn -3 ) / ( Vn -1 )

Je sais si après il faut que je remplace Vn.

[Reznov]

Mais je pense que ça s'arrête là puisque j'ai retrouvé toutes les réponses :)

Merci beaucoup à toi :)

[nodjim]

Tu n'as pas donné ce que tu as trouvé pour Un

[Reznov]

Tu n'as pas donné ce que tu as trouvé pour Un

Donc Un = ( -1 (1/2)^n -3 ) / ( -1 (1/2)^n -1 )

C'est ça ?

[nodjim]

Oui. Je l'ai réécris plus simplement:
(3*2^n+1)/(2^n+1).
qui tend donc vers 3 quand n tend vers l'infini.

[Reznov]

Merci beaucoup de ton aide :)