Suite - Récurrence - Conjecturer puis démontrer

[Ivanovich]

Bonjour à tous, voila j'ai un petit exercice à faire pour demain matin, seulement on commence à peine la leçon et on en a pas fait d'autre de ce style auparavant donc je galère :

(Un) est la suite définie par U0 = 3 et U(n+1) = -Un + 4 pour tout n non nul.

1) Calculer U1, U2, U3, U4, U5 et conjecturez l'expressions de Un en fonction de n.

2) Dérerminez Un en fonction de n.

J'ai juste calculer les valeurs :

U1 = 1
U2 = 3
U3 = 1
U4 = 3
U5 = 1 etc ...

comment dois-je procéder ensuite ?

en vous remerciant d'avance pour tout aide.

[B_J]

pour n pair Un = ...
pour n impair Un=....

[B_J]

apres il faut le montrer

[Ivanovich]

oui seulement dans mon cours j'ai : " sous cette hypothèse, on démontre que la propriété est vraie au rang suivant" ... au rang suivant je tombe dans l'autre cas en fait ... je suis pas du tout la ^^

[jucelan]

Apparemment, U2k=3 et U(2k+1)=1; il faut prouver cela par récurrence,i.e. si c'est vrai au rang n, ce sera vrai au rang n+1
Supposons que ce soit vrai au rang n
Si n=2k, n+1= 2k+1(impair);donc U(n+1)=-Un+4= -U2k+4=-3+4=1
Si n=2k+1, n+1=2k+1+1=2k+2=2(k+1) (pair); donc U(n+1)=-Un+4=-1+4=3
Donc finalement c'est vrai au rang n+1
Conclusion: Un=3 si n est pair (n=2k)
Un=1 sinon (n=2k+1)

Et voilà!

[Ivanovich]

waow merci beaucoup j'ai saisi le principe de la démonstration ^^
merci à vous deux pour le temps que vous avez pris pour me répondre.
bonne journée.