Démonstration pa récurrence

[zybane]

Bonjour,

je dois démontrer par induction o les relations suivantes:
1)1+5+9+...+(4n-3)=n(2n-1) pour tout n>=1

2)1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 pour tout n>=1

3)n³-n est divisible par 3 pour tout n>=1

4)1(1!),+2(2!)+...+n(n!)= (n+1)! pour tout n>=1


je suis complètement bloquée et ne sais pas par où commencer( (matière vue au cours lorsque j'étais absente). ext-ce que quelqu'un pourrait m'aider???

merci d'avance!

[pascal16]

je dois démontrer par induction o les relations suivantes:
1)1+5+9+...+(4n-3)=n(2n-1) pour tout n>=1
tu regardes si c'est vrai pour n=1. (initialisation)
tu supposes que pour n fixé 1+5+9+...+(4n-3)=n(2n-1)
tu pars de la partie gauche, mais pour n+1
1+5+9+...+(4n-3)+(4(n+1)-3)
tu utilises le que l'on ait supposé 1+5+9+...+(4n-3)=n(2n-1)

reste donc à démontrer que c'est même chose que la partie droite au range n+1:
n(2n-1) +(4(n+1)-3) vaut-il bien (n+1)(2(n+1)-1) ?

finalement, tu as démontré que :
c'est vrai au départ
si c'est vrai pour un nombre n, c'est vrai aussi pour n+1

[aymanemaysae]

Bonjour;

Je vais expliciter la résolution du premier exercice par la méthode de récurrence ,

et tu vas essayer de l'appliquer pour les autres exercices .


Soit la proposition au rang : "1 + 5 + 9 + ...... + (4n - 3) = n(2n - 1)" .

1)

Montrons que est vraie .
Pour , on a : ; donc est vraie .

2)

Supposons que pour tel que est vraie , montrons alors que est vraie .

est vraie , donc on a : 1 + 5 + 9 + ............. + (4n - 3) = n(2n - 1) ;

donc : 1 + 5 + 9 + ............ + (4n - 3) + (4(n + 1) - 3) = n(2n - 1) + (4n + 1)

= 2n² - n + 4n + 1 = 2n² + 3n + 1 = 2n² + n + 2n + 1 = 2n(n + 1) + (n + 1)

= (n + 1)(2n + 1) = (n + 1)(2n + 2 - 1) = (n + 1)(2(n + 1) - 1) ; donc est vraie .


3)

On a montré que est vraie au rang , et qu'elle est héréditaire,

donc est vraie pour tout .

[mathelot]

2)

Supposons qu'il existe tel que est vraie , montrons alors que est vraie .
.

pour l'hérédité, on ne demande pas l'existence de n. En effet, il y a des propriétés qui sont héréditaires et toujours fausses

[aymanemaysae]

Bonjour;

Merci Mathelot , je viens de rectifier cette erreur .