Démonstration par récurrence

[Emmilia]

Bonjour,
Voilà j'ai un exercice à faire mais je beugue vraiment dessus.

Pour tout n supérieur ou égal à 2, on a (n entier naturel)
Sn= 1 + 2 x 2 + 3 x 2² + ... + (n-1)2.
Je dois démontrer que :
Sn= (n-1)2

Voilà je pensais commencer par calculer la somme pour n=2 à partir de la première égalité mais j'ai trouvé
S(2)=4n-10 donc S(2)=-2 et ça ne m'aide pas du tout =/


.Je sais en effet que pour réussir à démontrer par récurrence je dois démontrer que c'est vrai pour le premier terme (2) puis montrer que c'est héréditaire..Mais je n'arrive pas à démarrer..

Si vous pouviez me mettre sur la voie ce serait très sympa de votre part!

Merci d'avance et bonne aprem !

[johnjohnjohn]

Bonjour,
Voilà j'ai un exercice à faire mais je beugue vraiment dessus.

Pour tout n supérieur ou égal à 2, on a (n entier naturel)
Sn= 1 + 2 x 2 + 3 x 2² + ... + (n-1)2.
Je dois démontrer que :
Sn= (n-1)2

Voilà je pensais commencer par calculer la somme pour n=2 à partir de la première égalité mais j'ai trouvé
S(2)=4n-10 donc S(2)=-2 et ça ne m'aide pas du tout =/


.Je sais en effet que pour réussir à démontrer par récurrence je dois démontrer que c'est vrai pour le premier terme (2) puis montrer que c'est héréditaire..Mais je n'arrive pas à démarrer..

Si vous pouviez me mettre sur la voie ce serait très sympa de votre part!

Merci d'avance et bonne aprem !

T'es sûre de pas avoir oublié un niveau de parenthèse ou quelque chose comme ça dans une formule TEX ? Parce que là, je trouve que les deux formules ne sont pas cohérentes.

[Emmilia]

Bonjour
Non non c'est exactement l'énoncé donné

[johnjohnjohn]

T'es sûre de pas avoir oublié un niveau de parenthèse ou quelque chose comme ça dans une formule TEX ? Parce que là, je trouve que les deux formules ne sont pas cohérentes.

pour la deuxième ?

[Emmilia]

Ah oui en effet vraiment désolée je n'avais pas vu qu'il manquait un n =/ Pourtant j'avais vérifié

[johnjohnjohn]

Ah oui en effet vraiment désolée je n'avais pas vu qu'il manquait un n =/ Pourtant j'avais vérifié

hé bien là ça colle pour P(1) non ?

[johnjohnjohn]

hé bien là ça colle pour P(1) non ?

enfin je voulais dire S(2) première mouture et S(2) deuxième mouture

[Emmilia]

En fait mon problème est que je trouve bien S(2)=1 avec la deuxième équation mais avec la première je ne sais absolument pas comment procéder du coup je n'arrive pas à exprimer S(n+1) en fonction de Sn pour établir l'hérédité =/

Edit: En fait mon gros problème est que je n'arrive pas à calculer S(2) avec la première équation..

[johnjohnjohn]

En fait mon problème est que je trouve bien S(2)=1 avec la deuxième équation mais avec la première je ne sais absolument pas comment procéder du coup je n'arrive pas à exprimer S(n+1) en fonction de Sn pour établir l'hérédité =/

Edit: En fait mon gros problème est que je n'arrive pas à calculer S(2) avec la première équation..

1iere formule

S(2)=1 + (2-2).2^(2-2)=1
S(3)= 1 + 2.2^(3-2)=5
S(4)=1 + 2.2^1+ 3.2^(4-2)=17

2ieme formule

S(2)=(2-1).2^2 -2.2^(2-1)+1=1
S(3)=(3-1).2^3-3.2^(3-1)+1=5
S(4)=(4-1).2^4-4.2^(4-1)+1=48-32+1=17

Attaque toi à l'hérédité maintenant

[Emmilia]

En fait pour la première formule il faut prendre le premier terme et le dernier terme et les ajouter? =/

[Emmilia]

Je ne sais pas du tout comment me lancer dans l'hérédité =/

[johnjohnjohn]

Je ne sais pas du tout comment me lancer dans l'hérédité =/

Supposons vraie

On a successivement

S(n+1)=1+2.2+3.2²+ ..... + (n-1).2^(n-2)+ n.2^(n-1)

....