Demonstration par recurrence

par **lala1** » 11 Oct 2008, 13:57

Bonjour,
pouvez vous m'aider à faire cet exercice s'il vous plait qui m'est difficile, merci

soit (Un) n appartient à N définie par U0=-1 et Un+1= 3/4Un + 1/2
1)calculer U1, U2, U3
-->U1=-1/4, U2=5/16 et U3=47/64

2)montrer que pour tout n appartenant à N Un<= 2
-->*initialisation: n=0 on a U0<= 2?
-1<=2 c'est vrai.
*hérédité: si Uk<=2 a-t-on Uk+1<=2?
3/4*Uk + 1/2<= 2
après je ne sais pas quoi faire, je suis bloqué...

3)montrer que la suite (Un) est croissante
-->je ne sais pas

4)montrer que pour tout n appartenant à N Un=2 - (3^n+1 )/ (4^n)
-->je ne sais pas non plus

5)demontrer que (Un) est convergente
-->pareil..je ne sais pas quoi faire

merci encore

par **Equiangle** » 11 Oct 2008, 14:09

Bonjour,

Tes réponses à la première question sont correctes.

Pour la deuxième question, tu as bien commencé, après il suffit de dire que comme Uk est inférieur ou égal à 2 , on a (3/4)Uk + 1/2 est inférieur ou égal à (3/4)*2 + 1/2. Et tu verras en effectuant le calcul que c'est bien inférieur ou égal à deux.

Je viens de relire ta question, peut être ai-je mal compris? dis moi si c'est bien sur ça que tu bloquais?

par **Equiangle** » 11 Oct 2008, 14:20

Bon je pense que tu voulais savoir comment faire une démonstration par récurrence.

La question : montrer que Pn est vrai.

_ Pour n=0 je montre que P0 est vrai, si oui c'est bon on continue.
_ Je suppose que Pn est vrai et je montre que Pn+1 est vrai.
J'essaye de mettre sous la forme expression(n+1)=en fonction de n
(Ce que tu as fais) Ensuite tu arrives, avec des calculs, à Pn+1 est vrai.
_ Conclusion: donc par récurrence on a montré que Pn est vrai.

par **Equiangle** » 11 Oct 2008, 14:32

Pour la question 3, pour montrer qu'une suite est croissante ou décroissante, il faut calculer:
Soit Un+1 - Un et voir si c'est négatif ou positif,
Soit Un+1/Un et voir sir c'est supérieur ou inférieur à 1.

A toi de choisir la bonne méthode pour cet exercice.

Pour la question 4, tu montre ça par récurrence: En montrant que Un+1= 2 - (3^(n+2)) / (4^(n+1)). En supposant que Un est bien égal à ce qu'on te donne, et à l'aide de l'expression de Un+1 en fonction de Un.

Pour la dernière question, tu dois connaitre la phrase magique:" toute suite croissante et majorée converge".

Voila bon courage pour mettre tout ça en forme.

par **leon1789** » 11 Oct 2008, 14:54

Si je peux me permettre :

Equiangle a écrit:La question : montrer que Pn est vrai pour tous les entiers n >= 0

_ Pour n=0 je montre que P0 est vrai, si oui c'est bon on continue.
_ Je suppose que Pn est vrai pour un certain entier n >= 0 et je montre que Pn+1 est vrai.
J'essaye de mettre sous la forme expression(n+1)=en fonction de n
(Ce que tu as fais) Ensuite tu arrives, avec des calculs, à Pn+1 est vrai.
_ Conclusion: donc par récurrence on a montré que Pn est vrai pour tous les entiers n >= 0.

par **Equiangle** » 11 Oct 2008, 15:03

Oh oui pardon pardon, j'ai oublié, :mur: Honte à moi!!!!

par **lala1** » 11 Oct 2008, 15:22

je n'arrive pas à montrer que c'est inférieur ou égal à 2?
je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour montrer cela?

par **leon1789** » 11 Oct 2008, 15:29

Equiangle a écrit:Oh oui pardon pardon, j'ai oublié, :mur: Honte à moi!!!!

Quand on a compris, ce n'est pas grave,
mais je crois que bcp d'élève parmi ceux qui ne comprennent pas la récurrence, pensent le "pour tout entier n" partout dans la démo (ce qui la rend effectivement incompréhensible).

par **leon1789** » 11 Oct 2008, 15:30

lala1 a écrit:je n'arrive pas à montrer que c'est inférieur ou égal à 2?
je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour montrer cela?

ecris u_n < 2 , puis 3/4 u_n , puis 3/4 u_n +1/2 , puis u_{n+1}

par **Equiangle** » 11 Oct 2008, 15:47

leon1789 a écrit:Quand on a compris, ce n'est pas grave,
mais je crois que bcp d'élève parmi ceux qui ne comprennent pas la récurrence, pensent le "pour tout entier n" partout dans la démo (ce qui la rend effectivement incompréhensible).

Oui et d'ailleurs je me rappelle que lorsque j'ai vu cette méthode en cours, le prof nous faisait marquer: "On suppose que Pn est vrai à un certain rang n." Comme ça, on ne s'embrouillait pas dans les "pour tout n" et "pour un certain n".
C'était deux phrases différentes.

par **lala1** » 11 Oct 2008, 17:51

merci c'est bon j'ai trouvé!
pour la question 3) on utilise la premiere methode Soit Un+1 - Un et voir si c'est négatif ou positif, c'est ça?

par **lala1** » 12 Oct 2008, 11:50

j'ai trouvé la 3), ça me donne: 1/2- Un/4 superieure à 0 donc Un croissante
mais je n'arrive pas à faire la 4) pouvez vous m'aider s'il vous plait!
merci

par **lala1** » 12 Oct 2008, 13:56

s'il vous plait!

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