Démonstration par récurrence

[caro_54]

j'ai un petit soucis sr cette exercice :hum:

voila l'énoncé:

On s'interresse ici à la somme Sn des cubes des n premiers entiers naturels impairs.

1) Calculer S1 ,S2 et S3
2)Démontrer par récurrence que , pour tout entier naturel n > ou égal à 1 , on Sn= 2n puissance 4 - n au carré
3) quel est l'entier n pour lequel Sn = 41 328 ?

pour la première question cela ne me poses pas de problème
je trouve S1=1
S2=1^3 + 3^3 = 28
S3 = 1^3 + 3^3 + 5^3 = 153

ensuite pour ladeuxième question c'est la que je coince ... :(
pour la premire étape pas de problème elle est vérifié en effet S1 =1 et 2 fois (1) ^4 - (1)^2 est bien egal a 1
donc P(1) est vrai*

pour la deuxième étape je ne m'en sors pas :s

je pensais qu'il fallait prouver que

2n^4 - n ^2 + (n+1)^3 = 2 (n+1) ^4 - (n+1 ) ^2

mais quand je dévellope je n'obtiens pas du tout les memes résultat

merci de m'aider , j'attends au plus vite vos réponses..

[tony21]

c'est le (n+1)^3 du 1er terme qui ne va pas.
tu fais la somme des n premiers entiers naturel impairs:
le 1er entier naturel impair correspond à 1
le 2ème à 3
le 3ème à 5
le 4ème à 7
et ainsi de suite
le pième à 2p-1
le nième à 2n-1
le (nième+1) à 2(n+1)-1 càd 2n+1
donc il faut vérifier que Sn+1 = 2 (n+1) ^4 - (n+1 ) ^2
et Sn+1 c'est aussi Sn + le (nième+1) entier naturel impair puissance 3; or le (nième+1) entier naturel impair vaut 2n+1
il faut donc vérifier que:
2n^4 - n ^2 + (2n+1)^3 = 2 (n+1) ^4 - (n+1 ) ^2
y a plus qu'à faire.