Démonstration par récurrence

[Anonyme]

Bonjour

Ceci est un exercice d'entrainement, pour des élèves en classe de terminale, qui permet de mieux appréhender les démonstrations par récurrence

énoncé : Démontrer que pour tout entier supérieur ou égal à 3 , on a :

[ThekamikazeFou]

Bonjour

Ceci est un exercice d'entrainement, pour des élèves en classe de terminale, qui permet de mieux appréhender les démonstrations par récurrence

énoncé : Démontrer que pour tout entier supérieur ou égal à 3 , on a :

Demontre que

Tu fais une initialisation pour n = 0

Herédité : tu demontre que au rang n+1 l'inegalité est verifier en admetant que l'inquétion est vrai au rang n

Puis tu conclus

[Gabriel de Smartcours.com]

Petites corrections.

L'initialisation se fait pour n=3 car ton énoncé indique que n est supérieur ou égal à 3.

De plus, l'énoncé semble faux car :
2^3=8
et 3*3+1=10
8 n'est pas supérieur ou égal à 10.
Il y a donc un problème.

Gabriel de smartcours.com

[Kikoo <3 Bieber]

Salut à tous.

Je n'ai regardé que l'énoncé et vos messages. Je n'ai pas touché à l'exo.

Je pense que l'énoncé est faux et l'est ainsi, pour insister sur l'importance de l'initialisation ET de l'hérédité :
Une propriété peut être héréditaire sans être vraie sur l'intervalle souhaité. De même, il est évident qu'une propriété peut être vérifiée sur des naturels épars, sans pour autant l'être "partout" sur l'intervalle d'étude.

Après, si Ptitnoir s'est trompé en recopiant, c'est autre chose ! ;)

Je vous laisse voir,

Ciao

[ThekamikazeFou]

Salut à tous.

Je n'ai regardé que l'énoncé et vos messages. Je n'ai pas touché à l'exo.

Je pense que l'énoncé est faux et l'est ainsi, pour insister sur l'importance de l'initialisation ET de l'hérédité :
Une propriété peut être héréditaire sans être vraie sur l'intervalle souhaité. De même, il est évident qu'une propriété peut être vérifiée sur des naturels épars, sans pour autant l'être "partout" sur l'intervalle d'étude.

Après, si Ptitnoir s'est trompé en recopiant, c'est autre chose !

Je vous laisse voir,

Ciao

Ce que tu essais de dire c'est qu'une demonstration par récurrence peut demontrer quelque choses de faux? O.o

[Anonyme]

@Kikoo <3 Bieber
Respect et bravo car car tu as tout compris à la démonstration par récurrence

Je corrige l'énoncé

Démontrer que pour tout entier supérieur ou égal à 4 , on a :

Nouvelle question :
La difficulté dans une démonstration par récurrence réside dans la démonstration de la phase de "l'hérédité" qui nécessite souvent de mettre en oeuvre une astuce dans les calculs.....

Quelle est la méthode qui permet de trouver cette astuce de calcul qui est très souvent nécessaire ?

[beagle]

dans cet exo, suffit pas de multiplier par 2 pour arriver quasi direct?

[Kikoo <3 Bieber]

Ce que tu essais de dire c'est qu'une demonstration par récurrence peut demontrer quelque choses de faux? O.o

Non, une démonstration par récurrence est un tout qui, s'il est bien appliqué, permet de valider une hypothèse. Une démonstration par récurrence ayant abouti se révèle toujours (jusqu'à preuve du contraire ?) juste.
Cependant, on peut arriver à confirmer un résultat faux en n'utilisant que l'étape dite d'hérédité :

Un exemple classique est : Montrer pour tout n que est divisible par 9.
Supposer la propriété vraie à un certain n et montrer qu'elle est vraie au rang n+1 semble donner un résultat juste. Il suffit par contre de montrer qu'elle ne s'initialise pas en 0 pour prouver qu'elle n'est pas vraie sur N.

Edit : verdict, il fallait plutôt utiliser l'énoncé "Est-ce que ?"

Notons qu'il existe différentes sortes de raisonnements par récurrence, et qu'il faut savoir utiliser le bon pour répondre à une situation particulière.

[Anonyme]

@beagle
Oui il faut multiplier par 2 puis comme c'est plus grand que ...etc...
On est d'accord

Par contre je suis certain que beaucoup d'élèves en classe niveau Termiinale rencontrent des problèmes dans les calculs mis en oeuvre dans la phase de "l'hérédité"

Merci d'expliquer comment vous procédez pour y arriver....

[ThekamikazeFou]

[quote="Kikoo 0 ,

L'initialisation est vrai au rang 1
On peut faire fonctionner une hérédité en n+1

Mais pourtant l'inegalité n'est pas vrai.

Une initialisation peut donc etre vrai et l'hederiter fonctionner sans que l'inégalité fonctionne ^^

[Kikoo <3 Bieber]

Je veux bien mais par exemple demontrons que pour tout n > 0 ,

L'initialisation est vrai au rang 1
On peut faire fonctionner une hérédité en n+1

Mais pourtant l'inegalité n'est pas vrai.

Une initialisation peut donc etre vrai et l'hederiter fonctionner sans que l'inégalité fonctionne ^^

Très bon exemple !

L'hérédité sera infructueuse dans les cas où le second membre ne dépend pas de n Ici cependant, il n'y a pas de problème, vu que l'on peut transformer l'inéquation pour obtenir des n des deux côtés.

Je ne vois d'ailleurs pas ce qui te pose problème, sauf le fait que tu te sois trompé : la propriété n'est vraie qu'à partir de 2.
Ici donc, l'initialisation casse le raisonnement, et on a fini.

[Anonyme]

@ThekamikazeFou

As tu voulu écrire ?
qui est vraie pour et uniquement ?

[Kikoo <3 Bieber]

@ThekamikazeFou

As tu voulu écrire ?
qui est vraie pour et uniquement ?

plutôt ?

Edit : non, s'il y a inégalité stricte, tu as raison, sinon (comme kamikazefou l'avait écrit), il faut partir de n=2

[Anonyme]

c'est une inégalité stricte....

[ThekamikazeFou]

Oui je me suis mélangé les pinceaux! :)

[Anonyme]

@Tous

Pouvez indiquer une méthode (ou votre méthode) pour trouver les (ou la) astuces de calcul à mettre en oeuvre dans la démonstration de la phase "hérédité" d'une démonstration par récurrence

[Anonyme]

énoncé : Démontrer que pour tout entier on a :

Bon cela n'a pas l'air de passionner les foules...Désolé