Ma démonstration est-elle bonne?

[UItraviolet]

Bonjour à tous, je dois, par récurrence
Montrer que : | sin(nx)| ≤ n| sin x|
Pour n dans N, on note Pn la propriété “ | sin(nx)| ≤ n| sin x|”
Initialisation :
| sin(0*x)| = 0 = 0*| sin x| = 0
donc P(0) est vraie
Hérédité :
soit k un entier naturel, avec k≥0. On suppose que P(k) est vraie, montrons que P(k+1) est vraie :
(k+1)*| sin x| = k| sin x| + | sin x| ≥ | sin(kx)| + | sin x|
..............................................................H.R
(montrons que | sin(kx)| + | sin x| ≥ | sin(kx + x)|

0 ≤ | sin(kx)| ≤ 1
| sin x| ≤ | sin(kx)| + | sin x| ≤ 1 + | sin x|
on majore | sin x| par 1 : 1 ≤ | sin(kx)| + | sin x| ≤ 1 + | sin x|

De plus : 0 ≤ | sin(kx + x)| ≤ 1
On a donc : | sin(kx + x)| ≤ | sin(kx)| + | sin x|)

Avec l’expression du début, on a la relation :
k| sin x| + | sin x| ≥ | sin(kx + x)|
P(k+1) est donc vraie: (k+1)| sin x| ≥ | sin((k+1)*x)|

Conclusion :
Etant donné que P(0) est vraie, et vu que P(n) est héréditaire, la propriété P(n) est vraie pour tout n € N.

[UItraviolet]

Je ne sais pas si j'ai le droit de majorer | sin x| que d'un seul coté de l'inéquation.

[Sa Majesté]

| sin x| ≤ | sin(kx)| + | sin x| ≤ 1 + | sin x|
on majore | sin x| par 1 : 1 ≤ | sin(kx)| + | sin x| ≤ 1 + | sin x|

Là ce n'est pas bon.

En fait tu pars de |sin(k+1)x|, que tu développes suivant la formule sin(a+b).
Et tu majores comme il faut pour utiliser l'hypothèse de récurrence.

[UItraviolet]

Ok merci je me disais bien qu'il fallait partir de l'autre membre, mais du coup en utilisant la formule d'addition, je vais tomber sur du cos et je m'en débarasse en majorant par 1?

[Sa Majesté]

mais du coup en utilisant la formule d'addition, je vais tomber sur du cos et je m'en débarasse en majorant par 1?

Yes