Démonstartion arg(z/z')=arg(z)-arg(z')

[Dexter038]

Bonjour,
Je suis en révision du bac et j'ai vu dans mon livre que la démonstration suivante était exigible :
arg(z/z')=arg(z)-arg(z')
Le problème c'est que je ne sais du tout comment m'y prendre...
Ça serait cool d'avoir un petit coup de main :lol3:

[Monsieur23]

Aloha,

Quelle est ta définition de arg ?

[Black Jack]

Par exemple :

z = A.e^(i.theta)
z' = B.e^(i.theta')

z/z' = (A/B).e^(i.theta)/e^(i.theta')
z/z' = (A/B).e^(i.(theta - theta'))

arg(z/z') = theta - theta'
arg(z/z') = arg(z) - arg(z')

:zen:

[Dexter038]

Merci pour cette réponse aussi rapide. :lol3:
J'avais pas pensé à la forme exponentielle...

[Robic]

Sans vouloir chipoter, est-ce qu'on ne peut pas dire que la forme exponentielle se justifie justement parce que (entre autres) arg(z.z') = arg(z) + arg(z') ? Auquel cas cette démonstration n'est pas vraiment valable (on démontre une formule en utilisant une écriture qui n'est valable que si la formule est vraie). (En fait, l'égalité e^(i.t)/e^(i.t') = e^i.(t-t') est une autre façon d'écrire arg(z/z') = arg(z)-arg(z'), donc on utilise de façon détournée le résultat à démontrer...)

Justement, dans les livres on démontre la formule différemment :
1) On écrit d'abord z = r (cos t + i sin t) et z' = r' (cos t' + i sin t') (là, ça ne pose pas de problème).
2) On calcule z/z' = (r/r') x (cos t + i sin t)/(cos t' + i sin t').
3) On met la fraction de droite (cos t + i sin t)/(cos t' + i sin t') sous forme algébrique en multipliant le dénominateur par son conjugué.
4) Avec les formules trigo on trouve que cette fraction de droite égale cos(t-t') + i sin(t-t'), ce qui démontre la formule puisqu'alors on a mis z/z' sous forme trigo.
C'est évidemment plus laborieux, mais au moins ce n'est pas de la « triche ».

Pour retenir cette démonstration, il faut juste retenir ceci : mettre z et z' sous forme trigo puis calculer z/z' d'abord sous forme algébrique puis, avec les formules trigo usuelles, sous forme trigo.

[Black Jack]

Sans vouloir chipoter, est-ce qu'on ne peut pas dire que la forme exponentielle se justifie justement parce que (entre autres) arg(z.z') = arg(z) + arg(z') ? Auquel cas cette démonstration n'est pas vraiment valable (on démontre une formule en utilisant une écriture qui n'est valable que si la formule est vraie). (En fait, l'égalité e^(i.t)/e^(i.t') = e^i.(t-t') est une autre façon d'écrire arg(z/z') = arg(z)-arg(z'), donc on utilise de façon détournée le résultat à démontrer...)

Justement, dans les livres on démontre la formule différemment :
1) On écrit d'abord z = r (cos t + i sin t) et z' = r' (cos t' + i sin t') (là, ça ne pose pas de problème).
2) On calcule z/z' = (r/r') x (cos t + i sin t)/(cos t' + i sin t').
3) On met la fraction de droite (cos t + i sin t)/(cos t' + i sin t') sous forme algébrique en multipliant le dénominateur par son conjugué.
4) Avec les formules trigo on trouve que cette fraction de droite égale cos(t-t') + i sin(t-t'), ce qui démontre la formule puisqu'alors on a mis z/z' sous forme trigo.
C'est évidemment plus laborieux, mais au moins ce n'est pas de la « triche ».

Pour retenir cette démonstration, il faut juste retenir ceci : mettre z et z' sous forme trigo puis calculer z/z' d'abord sous forme algébrique puis, avec les formules trigo usuelles, sous forme trigo.

Ca, c'est le problème de la poule et l'oeuf.

Reste à voir si, dans les programmes actuels, on introduit les notions d'exponentielles complexes et leur propriétés avant ou après la démonstration de arg(z.z') = arg(z) + arg(z').

Rien, mathématiquement parlant, n'empêche d'introduire les notions d'exponentielles complexes en premier.

:zen:

[Joker62]

Hello,

Sinon tu peux aussi changer de bouquin de Maths parce que c'est pas exigible comme démonstration.

Enfin, si t'étudies en France !

[Robic]

Black Jack : en terminale il n'y a pas de choix, c'est forcément la poule et jamais l'oeuf. C'est normal étant donné la façon dont on définit les nombres complexes. (Pour avoir la notation exponentielle avant la démonstration de l'argument d'un produit, il faudrait avoir préalablement défini l'exponentielle complexe...)

[Black Jack]

Black Jack : en terminale il n'y a pas de choix, c'est forcément la poule et jamais l'oeuf. C'est normal étant donné la façon dont on définit les nombres complexes. (Pour avoir la notation exponentielle avant la démonstration de l'argument d'un produit, il faudrait avoir préalablement défini l'exponentielle complexe...)

Bien possible, comme je l'ai dit, je ne connais pas les programmes actuels. Et moins encore les français que ceux de ma Belgique natale.

Je continue à penser que l'ordre dans lequel sont enseignées les différentes notions varie de pays à pays et avec le temps et que chacun le fait de manière logique. Il n'y a pas qu'une seule bonne méthode d'aborder les choses.

:zen:

[Robic]

Oui, tu as raison. Je supposais que Dexter038 est un lycéen français, mais après tout je n'en sais rien.

Si on veut donner un conseil général, je crois que ce serait : regarder la démonstration du cours.