Démonstartion de convergence

par **tt175** » 21 Sep 2013, 12:56

Bonjour,
j'ai une suite Un tel que U0=-1 et (Un+1) = Rac(2+Un)
Je dois montrer que |(Un+1)-2|;)1/3 |(Un-2)| :mur:
Comment je peux m'y prendre svp ?

Merci :help:

par **Manny06** » 21 Sep 2013, 14:06

tt175 a écrit:Bonjour,
j'ai une suite Un tel que U0=-1 et (Un+1) = Rac(2+Un)
Je dois montrer que |(Un+1)-2|;)1/3 |(Un-2)| :mur:
Comment je peux m'y prendre svp ?

Merci :help:

calcule Un+1 -2 puis multiplies haut et bas par l'expression conjuguée
ensuite démontre que le dénominateur est supérieur à 3

par **tt175** » 21 Sep 2013, 14:16

Manny06 a écrit:calcule Un+1 -2 puis multiplies haut et bas par l'expression conjuguée
ensuite démontre que le dénominateur est supérieur à 3

Merci,
c'est-a-dire en haut et en bas?
parce que Un+1 -2 = Rac(2+Un)-2
et ca me fait |Rac(2+Un)-2|

|Un -2|/3

par **Manny06** » 21 Sep 2013, 14:43

tt175 a écrit:Merci,
c'est-a-dire en haut et en bas?
parce que Un+1 -2 = Rac(2+Un)-2
et ca me fait |Rac(2+Un)-2| |Un -2|/3

ça te donne
Un+1-2=(V(Un+2) -2)=(Un+2-4)/(V(Un+2)+2)
soit Un+1 -2=(Un -2)/(V(Un+2)+2)
tu peux montrer par récurrence que pour n>=1 Un>0
ce qui te donnera un dénominateur supérieur à V2+2 donc supérieur à 3
ensuite tu prends tout en valeur absolue

par **tt175** » 21 Sep 2013, 15:16

Manny06 a écrit:ça te donne
Un+1-2=(V(Un+2) -2)=(Un+2-4)/(V(Un+2)+2)
soit Un+1 -2=(Un -2)/(V(Un+2)+2)
tu peux montrer par récurrence que pour n>=1 Un>0
ce qui te donnera un dénominateur supérieur à V2+2 donc supérieur à 3
ensuite tu prends tout en valeur absolue

Merci,
je ne comprends pas ce passage : (V(Un+2) -2)=(Un+2-4)/(V(Un+2)+2)

par **tt175** » 21 Sep 2013, 16:38

Merci,
alors j'ai utilisé l'égalité pour l'inégalité, et à la fin j'ai trouvé Un;)-1 ce qui est juste car on a démontré précédemment par récurrence que -1;)Un
Donc ca suffit ?
Apres je dois en déduire que |Un-2|;)1/3^(n-1)
Je vois pas comment faire? merci

par **chan79** » 21 Sep 2013, 16:51

tt175 a écrit:Merci,
alors j'ai utilisé l'égalité pour l'inégalité, et à la fin j'ai trouvé Un;)-1 ce qui est juste car on a démontré précédemment par récurrence que -1;)Un
Donc ca suffit ?
Apres je dois en déduire que |Un-2|;)1/3^(n-1)
Je vois pas comment faire? merci

ça peut se faire par récurrence, entre autres

par **tt175** » 21 Sep 2013, 17:08

Merci, mais je n'y arrive pas :
J'ai initialisé à n=0 ce qui me donne |U0-2|=3 et 1/3^-1=3 donc P(0) vraie
Hérédité : |Un-2|;)1/3^(n-1)
je cherche |(Un+1)-2|;)1/3^n
J'ai essayé de le faire à l'envers avec Un+1-2=(V(Un+2) -2)
Mais je n'y arrive pas !

par **chan79** » 21 Sep 2013, 17:10

tt175 a écrit:Merci, mais je n'y arrive pas :
J'ai initialisé à n=0 ce qui me donne |U0-2|=3 et 1/3^-1=3 donc P(0) vraie
Hérédité : |Un-2|;)1/3^(n-1)
je cherche |(Un+1)-2|;)1/3^n
J'ai essayé de le faire à l'envers avec Un+1-2=(V(Un+2) -2)
Mais je n'y arrive pas !

utilise l'inégalité que tu as démontrée avant

par **tt175** » 21 Sep 2013, 17:22

chan79 a écrit:utilise l'inégalité que tu as démontrée avant

Oui mais je vois pas quoi en faire, je suis vraiment bloqué avec ce 3^n-1
J'ai continué alors là j'ai 1/3^n-1 = 3/3^n = 1/((3^n)*1/3)
Je suis perdu

par **chan79** » 21 Sep 2013, 17:56

tt175 a écrit:Oui mais je vois pas quoi en faire, je suis vraiment bloqué avec ce 3^n-1
J'ai continué alors là j'ai 1/3^n-1 = 3/3^n = 1/((3^n)*1/3)
Je suis perdu

donc tu as l'hypothèse de récurrence

il faut démontrer

or tu sais que

donc, grâce à l'hypothése de récurrence

c'est presque fini ...

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