[termS] demon,stration par récurrence

[Anonyme]

Bonjour à tous, je n'arrive pas à faire cette demonstration, si quelqu'un
pouvait juste me metttre sur la voie, ça serait sympa, merci d'avance!!
par contre je ne sais pas comment écrire sigma!!
Soit n>=1 un entier naturel. Demontrer:
1*2+2*3+3*4+4*5+...........+n*(n+1)= somme[n ; k=1] k(k+1)
=[n*(n+1)*(n+2)]
/3

Comme on est dans les demonstration par récurrence j'ai penseer à une
demonstration par récurrence!!
ce qui donne:
1*2 +2*3+3*4+............+n(n+1)+(n+1)(n+2)= somme[n+1; k=1] k(k+1)
=
[(n+1)(n+2)(n+3)] /3

Ce qui démontre rien du tout je sais mais je ne voit rien pour l'instant!!
merci d'avance

[Anonyme]

salut

"ndl" a écrit dans le message de news:
41e0254b$0$19602$636a15ce@news.free.fr...
> Bonjour à tous, je n'arrive pas à faire cette demonstration, si quelqu'un
> pouvait juste me metttre sur la voie, ça serait sympa, merci d'avance!!
> par contre je ne sais pas comment écrire sigma!!
> Soit n>=1 un entier naturel. Demontrer:
> 1*2+2*3+3*4+4*5+...........+n*(n+1)= somme[n ; k=1] k(k+1)
>
> =[n*(n+1)*(n+2)]
> /3
>
> Comme on est dans les demonstration par récurrence j'ai penseer à une
> demonstration par récurrence!!
> ce qui donne:
> 1*2 +2*3+3*4+............+n(n+1)+(n+1)(n+2)= somme[n+1; k=1] k(k+1)
> =
> [(n+1)(n+2)(n+3)] /3
>
> Ce qui démontre rien du tout je sais mais je ne voit rien pour l'instant!!
> merci d'avance
la démonstration par récurrence repose sur le principe suivant :
- soit une propriété P en fonction de n que l'on veut démontrer
-on vérifie que pour un certain n de départ que l'on notera n0, la propriété
P est vrai
- ensuite on suppose que P est vrai pour un quelconque n, et on démontre
alors que P est vrai pour n+1
donc pour tout n>=n0, P est vrai

dans ton cas, tu dois démontrer ta propriété pour n>=1
prenons comme point de départ n=1 (forcément)
on a donc somme(k=1..n,k*(k+1))=1*2=2 et en utilisant la "formule", on a
1*(1+1)*(1+2)/3=1*2*3/3=2.
donc ta formule est vrai pour n=1

supposons maintenant que ta formule est vrai pour n, essayons de démontrer
qu'elle est vraie pour n+1 :
somme(k=1..n+1,k*(k+1))=somme(k=1..n,k*(k+1))+(n+1)*(n+2)
comme on a supposé que la formule est vraie pour n, on peut remplacer
somme(k=1..n,k*(k+1)) par n*(n+1)*(n+2)/3
cela donne :
somme(k=1..n+1,k*(k+1))=n*(n+1)*(n+2)/3+(n+1)*(n+2)=(n+1)*(n+2)*(n+3)/3
or en utilisant la formule pour n valant n+1 on trouve (n+1)*(n+2)*(n+3)/3
et c'est bien ce que l'on trouve juste au dessus !!!!!
donc pour tout n>=1, somme(k=1..n,k*(k+1))=n*(n+1)*(n+2)/3
voila, tu as démontrer par récurrence cette propriété.

A+

GUiz

[Anonyme]

Bonsoir,

ndl wrote:

> Soit n>=1 un entier naturel. Demontrer:
> 1*2+2*3+3*4+4*5+...........+n*(n+1)= somme[n ; k=1] k(k+1)
> =[n*(n+1)*(n+2)]/3
>
> Comme on est dans les demonstration par récurrence j'ai penseer à une
> demonstration par récurrence!!
> ce qui donne:
> 1*2 +2*3+3*4+............+n(n+1)+(n+1)(n+2)= somme[n+1; k=1] k(k+1)
> =
> [(n+1)(n+2)(n+3)] /3
>
> Ce qui démontre rien du tout je sais mais je ne voit rien pour l'instant!!
> merci d'avance

Notons P(n) la propriété 1*2+2*3+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 où n est un entier
strictement positif.
1) P(1) est vraie. Il suffit de calculer séparement chaque membre de
l'égalité pour n=1.
2) On va montrer que P(n) vraie implique P(n+1) vraie. Supposons donc que
P(n) est vraie. Ecrivons-la:
(1) 1*2+2*3+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
On veut en déduire que P(n+1) est vraie, que nous écrivons aussi:
(2) 1*2+2*3+...+n(n+1)+(n+1)(n+2)=(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)/3
Comment déduire (2) de (1). Remarques que pour obtenir le membre de gauche
de (2) il nous faut ajouter (n+1)(n+2) a celui de (1). Pour préserver
l'égalité effectuons la même opération au membre de droite de (1). Nous
obtenons:
1*2+2*3+...+n(n+1)=(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)/3+(n+1)(n+2)
Dans le membre de droite tu factorises par ... et normalement tu dois
obtenir l'égalité (2). Donc P(n) est vraie pour tout entier n>0.

Si tu as des difficultés, nous pouvons considérer un exemple plus concret
(celui de mon prof de seconde). Devant toi il y a une fil de voitures
arrêtées à un feu rouge. Tu es aveugle. La personne qui t'accompagne te dit
que la première voiture est jaune. Elle ajoute que si une voiture de la fil
est jaune la suivante l'est également. De quelle couleur sont les voitures?
Jaune bien sur.
Si on "formalise". On aurait pu noter P(n)="la nième voiture de la fil est
jaune". Nous savons que P(1) est vraie et que P(n) vraie implique P(n+1)
vraie. Conclusion P(n) vraie pour tout n (valide bien sur) ie les voitures
sont toutes jaunes.

-- Eric Guirbal