Démontration par récurrence TermS

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Zouad
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Démontration par récurrence TermS

par Zouad » 17 Sep 2018, 22:52

Bonjour,
J'aide des lycéens en mathématiques ... Mais les démonstrations n'ont jamais été mon fort ...
Il s'agit d'une démonstration par récurrence pour la suite (Un) telle que :
U0 = 0,8 et Un+1 = (Un)²
Montrer par récurrence que 0 ≤ Un+1 ≤ Un pour tout n ≥ 0
L’initialisation est vraie pour n=0.
Mais pour l'hérédité ... Je ne sais plus du tout comment commencer ? D'habitude après quelques lectures sur internet ça me revient mais là ça ne parle plus du tout ...
Est-ce que quelqu'un peut m'aider svp ?
Merci d'avance
Bonne soirée



titine
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Re: Démontration par récurrence TermS

par titine » 17 Sep 2018, 23:04

Zouad a écrit:Bonjour,
J'aide des lycéens en mathématiques ... Mais les démonstrations n'ont jamais été mon fort ...
Il s'agit d'une démonstration par récurrence pour la suite (Un) telle que :
U0 = 0,8 et Un+1 = (Un)²
Montrer par récurrence que 0 ≤ Un+1 ≤ Un pour tout n ≥ 0
L’initialisation est vraie pour n=0.
Mais pour l'hérédité ... Je ne sais plus du tout comment commencer ? D'habitude après quelques lectures sur internet ça me revient mais là ça ne parle plus du tout ...
Est-ce que quelqu'un peut m'aider svp ?
Merci d'avance
Bonne soirée

Pour l'hérédité , on suppose que la propriété est vraie pour une valeur de n (c'est à dire que 0 ≤ Un+1 ≤ Un) et on prouve qu'alors elle est aussi vraie pour n+1 (c'est à dire que
0 ≤ Un+2 ≤ Un+1)
Or on sait que si a et b sont des nombres tel que 0 ≤ a ≤ b alors 0 ≤ a²≤ b²
Donc si 0 ≤ Un+1 ≤ Un alors 0 ≤ Un+1²≤ Un² et donc 0 ≤ Un+2 ≤ Un+1

pascal16
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Re: Démontration par récurrence TermS

par pascal16 » 17 Sep 2018, 23:05

si 0 ≤ Un+1 ≤ Un est vrai
0 ≤ Un+1 ≤ Un ≤ 0.8 est vrai car Uo=0.8

et quand on élève au carré un nombre entre 0 et 1 .....

Zouad
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Re: Démontration par récurrence TermS

par Zouad » 18 Sep 2018, 00:15

Merci pour vos réponses, je n'ai pas encore trouvé la fin du tunnel mais je sais qu'avec vos aides, je vais pouvoir structurer un peu plus mon esprit pour venir à bout de cette démonstration !
Merci beaucoup

pascal16
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Re: Démontration par récurrence TermS

par pascal16 » 18 Sep 2018, 09:38

0<Un<1
=>
0<Un*Un<Un*1 (on ne change pas une inégalité en multipliant par un nombre positif)
=>
0<Un²< Un

pascal16
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Re: Démontration par récurrence TermS

par pascal16 » 18 Sep 2018, 09:38

on peut faire aussi Un+1 / Un

 

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