Déformation d'une courbe

[alexis6]

Bonjour,

Je viens de remarquer que pour une courbe d'expression y=x^2, lorque l'on ajoutait ax, par exemple x^2-10x, on déformait la courbe, et que cela ressemblait à une homéothétie, c'est à dire que la figure est tout à fait élargie...

Plus généralement, j'observe que pour un monôme de degré n, de forme x^n, si on ajoute ax^n-1, alors la forme est agrandie, et ax^n-2, la figure est rétrécie... ( avec n=2k )

Comment expliquer ceci?

[titine]

Bonjour,

Je viens de remarquer que pour une courbe d'expression y=x^2, lorque l'on ajoutait ax, par exemple x^2-10x, on déformait la courbe, et que cela ressemblait à une homéothétie, c'est à dire que la figure est tout à fait élargie...

Plus généralement, j'observe que pour un monôme de degré n, de forme x^n, si on ajoute ax^n-1, alors la forme est agrandie, et ax^n-2, la figure est rétrécie... ( avec n=2k )

Comment expliquer ceci?

Excuse moi mais c'est pas très clair.
Je ne vois pas comment tu observes :

Plus généralement, j'observe que pour un monôme de degré n, de forme x^n, si on ajoute ax^n-1, alors la forme est agrandie, et ax^n-2, la figure est rétrécie... ( avec n=2k )

[mathelot]

ça doit dépendre de la parité de l'exposant n-1 et n-2.
s'ils ont même parité, n et n-2, quand x tend vers l''infini, les effets se conjuguent,
si la parité est différente n et n-1 , les effets se compensent en

[alexis6]

Excuse moi mais c'est pas très clair.
Je ne vois pas comment tu observes :

A l'aide d'un traceur de courbe: http://www.mathe-fa.de/fr . C'est tout à fait remarquable.

ça doit dépendre de la parité de l'exposant n-1 et n-2.
s'ils ont même parité, n et n-2, quand x tend vers l''infini, les effets se conjuguent,
si la parité est différente n et n-1 , les effets se compensent en

En effet, j'ai aussi pensé à la parité. Globalement par exemple si on prend les courbes des fonctions x^2, x^4, x^6 ... x^n (n=2k), on observe que que ces courbes convergent vers l'axe des ordonnées x=0, quand n tend vers +inf. Et quand on prend les courbes des fonctions x, x^3, x^5 ... x^n ( n=2k+1), on observe que quand n tend vers +inf, les courbes se rapprochent sur ]-inf,-1[ de l'axe x=-1, sur ]1,+inf[ elles se rapprochent de l'axe x=1.

On pourrait en déduire que si on prend un monôme x^n, l'ajout d'un monôme de puissance paire rétrécit la figure, et l'ajout d'un monôme de puissance impaire élargit la figure.

[L.A.]

Bonjour,

tes remarques sur les paraboles s'expliquent facilement

si tu pars de y=x^2 et que tu lui ajoutes x^2-10x, tu peux mettre ta fonction sous la forme



Ici tu peux voir la série de transformations qui te font passer de la première courbe à la deuxième (d'ans l'ordre) :

1) une translation de +5/2 sur l'axe x,
2) une translation de -25/4 sur l'axe y,
3) une homothétie de rapport 2 dans la direction y.

Rmq : en fait le trinôme est sous forme "canonique", comme on dit...

[alexis6]

Bonjour,

tes remarques sur les paraboles s'expliquent facilement

si tu pars de y=x^2 et que tu lui ajoutes x^2-10x, tu peux mettre ta fonction sous la forme



Ici tu peux voir la série de transformations qui te font passer de la première courbe à la deuxième (d'ans l'ordre) :

1) une translation de +5/2 sur l'axe x,
2) une translation de -25/4 sur l'axe y,
3) une homothétie de rapport 2 dans la direction y.

Rmq : en fait le trinôme est sous forme "canonique", comme on dit...

Merci beaucoup pour cette explication... Et ça se généralise à un degré n alors? En tous cas, c'est très sympa!

[L.A.]

Je pense que non. En degré 2 la situation est très simple et très particulière puisque les paraboles se ressemblent toutes en quelque sorte, et c'est lié au fait que n'importe quel trinôme peut se mettre sous forme canonique, mais en degré 3 ce n'est plus le cas : si tu compares les courbes

y=x^3 et y=x^3-4x

elles ont des comportements très différents, par exemple, la première est toujours croissante alors que la deuxième est croissante puis décroissante puis croissante. Il n'y a pas de transformation simple (uniquement faite à partir d'homothéties et de translations) qui permettrait de passer de l'une à l'autre.

[zygomatique]

salut

en fait pour le degré 3 ce qui compte c'est le point d'inflexion S qui est centre de symétrie ...

si (a, b) sont ses coordonnées alors il faut écrire


on pourrait dire qu'il y a deux catégories :

les fonctions strictement monotones (la dérivée ne s'annulent pas sauf éventuellement en un point)
les fonctions non strictement monotones (la dérivée s'annule en deux points distincts)



pour généraliser la forme canonique est ... canonique donc donne toutes les informations (translation par rapport à x, à y et dilatation)

pour le second degré ::

pour les fonctions homographiques ::

pour d'autres encore ::

....