Defi niv terminale

[Ericovitchi]

Puisqu'on vient d'en parler au précédent post (limite), quelqu'un sait-il démontrer simplement que
? c'est niveau terminale à peu près.

(dont on déduit la chouette formule d'Euler d'ailleurs :
)

[girdav]

On peut tenter une récurrence, qui repose sur la formule trigonométrique aussi bien pour l'initialisation que pour l'hérédité.

[girdav]

Je détaille le raisonnement.
On prend pour éviter que les sinus s'annulent.
Initialisation et


Hérédité
et

[Ericovitchi]

Oui d'accord. Je n'aurais pas dû donner le résultat, ça aurait empêché un raisonnement par récurrence.

Si on ne connait pas à priori le résultat, on utilise les mêmes ingrédients que ce que tu as fait. Si on pose et en utilisant la relation on trouve facilement que et on en déduit .

[girdav]

Je me demande si on peut déduire de la formule d'Euler la limite de en . En passant au logarithme pour les valeurs absolues, on peut regarder si la série de fonctions converge normalement (ou uniformément) sur un compact contentant .

[Ericovitchi]

On a pas le droit de faire tendre tout simplement n vers l'infini et dire que tends vers sin(x) ?

[Ericovitchi]

C'est un peu le marteau pour écraser la mouche non ?
sin x / x tends vers 1 par la seule définition de la dérivée de sin en zéro.

Cela dit tu viens de démontrer que convergeait quel que soit x finalement ?

[girdav]

C'est un peu le marteau pour écraser la mouche non ?
sin x / x tends vers 1 par la seule définition de la dérivée de sin en zéro.

Cela dit tu viens de démontrer que convergeait quel que soit x finalement ?

En fait on se mord la queue si on montre par la définition de la dérivée.
et on a besoin des limites et .
Sinon en posant , on peut regarder pour assez petit.
. A partir d'un certain moment, disons , rentre dans la zone des cosinus positifs. Donc pour , .
On a donc il y a un minimum en et le sup est atteint en .
Donc qui est bien le terme général d'une série convergente.
Donc il y a convergence normale sur et on peut, par continuité de l'exponentielle , déduire le résultat sur la limite.
Mais c'est une autre façon de se mordre la queue (dans l'évaluation du sup j'ai utilisé la dérivée). On doit pouvoir le majorer autrement.