D2MORALISé PAR UN EXERCICE SUR LES SUITES

par **nox** » 06 Sep 2006, 21:00

Oumzil a écrit:pour n=3 on a : 1²+2²+3² = 14 et 3(3+1)(6+1)/6 = 84/6 =14

il doit peut etre le prouver à partir de n=1 ou 2^^
donc à ce moment la faut pas oublier de vérifier la formule à la main pour ces valeurs

par **izamane95** » 06 Sep 2006, 21:42

[HTML]on considère 1²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6 [/HTML] [HTML]citation:ce qu'il faut faire en bref :[/HTML]
c'est exactement ce que g fait et c'est ce que m'a dit nox
pour n=2 et n=3
le prof nous a dit le1ér entier suffit car on suit des étapes

par **nox** » 06 Sep 2006, 21:44

oui si tu montres que c'est vrai pour n=1, et ensuite que si c'est vrai à n c'est vrai à n+1, ba comme c'est vrai à 1 c'est vrai à 2, comme c'est vrai à 2 c'est vrai à 3 etc....

donc c'est vrai pour tout n

par **Oumzil** » 06 Sep 2006, 22:21

oui j'ai choisis 3 par hasard tout les entier naturels sont valable

par **nox** » 06 Sep 2006, 22:22

oui mais si tu commences à 3 ca ne sera valable qu'a partir de 3...et il faudra encore le vérifier pour 1 et 2 meme si c'est facile :)

par **Oumzil** » 06 Sep 2006, 22:32

:++: poste modifié

par **bdupont** » 07 Sep 2006, 14:09

Salut Izamane95,

Lisant ton énoncé il m'apparait que la discussion d'hier contourne la difficulté : il s'agit non pas de démontrer que la somme des carrés est égale à n(n+1)(2n+1)/6 mais de trouver ce résultat en faisant preuve d'intuition ou en allant chercher des analogies avec d'autres sommes.

Je pense à la somme S'=1+2+...+n
Pour calculer S' on remarque que S' s'écrit aussi n+n-1+...+1 et que l'on peut sommer terme à terme pour obtenir 2S' = nX(n+1) et donc S=n(n+1)/2

Par analogie, S = 1+2²+...+n²
4S=4n²+4(n-1)²+...+4.2²+4
4S-S=3S=[4n²-1]+[4(n-1)²-2²]+...+[4.2²-(n-1)²]+[4-n²]
Les termes entre crochets se factorisent [a²-b²=(a+b)(a-b)] et de fil en aiguille* on obtient :
3S=(2n+1)(1+2+...+n)=(2n+1)n(n+1)/2
S= n(n+1)(2n+1)/6

* Calcul très fastidieux que je m'épargne dans ma grande magnanimité.

par **nox** » 07 Sep 2006, 14:15

oui c'est vrai que d'après l'énoncé on est censé trouver cette formule.

il me semblait qu'on pouvait la trouver d'une autre façon moins calculatoire mais je ne l'ai plus en tête...

par **bdupont** » 07 Sep 2006, 16:34

Exact,
On peut utiliser l'astuce suivante

Il suffit alors de développer le facteur (1+i)^3 pour isoler les sommes 1+2+...+n et 1²+2²+...+n²

par **nox** » 07 Sep 2006, 16:35

OUI!!!

merci :happy2:

c'était ca que je cherchais

par **izamane95** » 07 Sep 2006, 18:58

oui mais le probléme c'était de démontrer la relation en utilisant le raisonnement par récurrence don j'était obligé de passer par p (n+1)

par **nox** » 08 Sep 2006, 08:26

waip mais pour la démonstration par récurrence il faut bien savoir à l'avance ce qu'on veut trouver...

et si la formule n'est pas donnée dans l'énoncé on va pas la sortir de la poche ^^

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