Curiosité de 1re S

par **Dinozzo13** » 22 Juin 2009, 12:12

bonjour, je me suis posé une question:
Soit la fonction

définie sur

par :

. On a appris en 1re S à dériver

en

. puis je me suis dit, calculons

, la dérivée de

, j'ai reproduit ce procédé encore une ou deux fois. Enfin, j'ai essayer de chercher une forme générale de

dérivée n fois, avec

mais je n'y arrive pas. Je me suis inspiré des 4 premières dérivées de

pour en déduire sa dérivée d'ordre n mais je n'arrive pas.
Voici mes résultats:

=...= -

=...=

=

A partir de ces 3 dérivées et après mure réflexion, j'en déduis que:

mais je ne suis pas trop sur :triste: :triste:

par **le_fabien** » 22 Juin 2009, 12:24

Bonjour,
il faut se dire que

=

En calculer les dérivées successives ne devrait pas poser trop de problème.

par **Timothé Lefebvre** » 22 Juin 2009, 12:26

Salut,

une dérivée nième se calcule souvent (toujours ?) par récurrence.
D'autre part il faut préciser que la dérivée nième de l'application f a valeurs dans

par **Dinozzo13** » 22 Juin 2009, 12:29

oui je sait, ce que j'ai exposé n'est qu'un brouillon, il n'y a que les résultats. Quant à l'application f a valeurs dans "R+*" c'est évident, je n'ai pas rédigé, je me suis juste contenté de voir si mes calculs et ma déductions étaient justes, :ptdr:

par **Timothé Lefebvre** » 22 Juin 2009, 12:35

D'accord

Sinon par exemple pour la dérivée nième de

on a le développement limité. On utilise la formule de Taylor en posant

et hop tu trouves ce que tu cherches !

cos'(x)=-sin(x)
cos''(x)=(-sin'(x))'=-cos(x)

etc...

par **Timothé Lefebvre** » 22 Juin 2009, 12:50

Hum :hein:
En fait il suffit de savoir que

en précisant que f est dérivable n fois sur ton intervalle.
Pis sinon il y a toujours Leibniz pour le reste.

par **Dinozzo13** » 22 Juin 2009, 15:40

merci bien pour ces petites info du cours de terminale :we:

par **Timothé Lefebvre** » 22 Juin 2009, 15:43

Je ne suis pas sûr que ce soit du cours de Terminale !

par **Dinozzo13** » 22 Juin 2009, 15:45

bah, je suis en 1re S et le nom de leibniz n'est cité a aucune page de mon manuel, de même pour les derivees d'ordre n.

par **Timothé Lefebvre** » 22 Juin 2009, 15:51

Ouais t'as raison je viens de vérifier et en fait les dérivées successives sont étudiées en TS (et on y évoque la notation de Leibniz pour nos amis physiciens

)
Si on veut être plus complet on peut aussi dire que

pour tout n entier supérieur ou égale à 2 :lol4:

par **Dinozzo13** » 22 Juin 2009, 15:56

J'ai aussi essayé de composer n fois cette même fonction f définie sur

et j'ai établit que:

et

: (f ° f ° ... ° f)(x)=

toujours en sachant que

par **Euler911** » 22 Juin 2009, 17:31

Dinozzo13 a écrit: et : (f ° f ° ... ° f)(x)=

toujours en sachant que

non, la nième composée n'est pas celle que tu donnes:

f(f(f(x)))=V(V(V(x)))=x^(1/8) par exemple et non x^(1/6)

par **Dinozzo13** » 22 Juin 2009, 17:33

ah mince, merci d'avoir signalé cette erreur, je vais refaire mes calculs :ptdr:

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