Simple curiosité sur la définition de l'intégrale

[Postuma]

Bonsoir tout le monde !

Ma question sort peut-être légèrement du programme de Terminale (du programme ES en tout cas), mais c'est une question qui m'a tarabiscoté toute l'année :p.

Lorsqu'en octobre, le professeur nous a introduit le chapitre sur l'intégrale, il nous a balancé la formule "L'intégrale de a à b de f(x)dx est égale à F(b) - F(a)". Sans plus d'explication. Quand je lui ai demandé, par pure curiosité mathématique, comment on démontrait cela, il m'a répondu "C'est la définition ; une définition ça ne se démontre pas."
Certes. Mais quand on sait que la valeur absolue de l'intégrale représente la surface du domaine entre la courbe et l'axe des abscisses, on est en droit de se demander au nom de qui et de quoi l'aire serait égale à F(b) - F(a).

Je n'allais pas lâcher prise aussi vite :p. J'ai donc essayé de démontrer la formule chez moi. Et je voudrais savoir si ma démonstration est correcte, si, par miracle, j'ai réussi à démontrer une définition qui ne se démontre point ;p.

Voici donc ma démonstration, quelqu'un pourrait-t-il m'indiquer si elle est effectivement correcte ?



Merci d'avance

[Taupin sur Lyon]

Joli intérêt pour les maths ;)

Dommage d'être en ES...!

Sinon, je ne pense pas que ta démonstration soit parfaitement rigoureuse ( j'aime po les simplifications par les dx entre autres ; c'est des méthodes de physiciens !! )
Mais il n'empêche que c'est intéressant de voir ça !

Si tu veux quelque-chose de + simple et de + rigoureux...

Rappelle-toi ce qu'est une primitive F de f, s'annulant en a !
alors : ( désolé, je ne maitrise po encore le latex... )

F(x) = int(f(t), t variant de a à x )

Maintenant, calcule F(c) - F(b), ou b et c sont tes bornes d'intégration...
Par Chasles, tu obtiens directement ce que tu cherches ;)

[totolivier]

ou sinon tu peux dire que:
soit f une fontion continue positive sur [a,b]
Soit A(x), l'aire délimitée par les droites : x=a,x=b, Cf et y=0.
On veut montrer que A(x)=intégrale de f entre a et x

tu prends un xo entre a et b. f est continue en xo, donc dans un petit intervalle [xo-ro,xo+ro], tous les x à l'intérieur vérifie: f(x) dans un intervalle [f(xo)-eps,f(xo)+eps], avec eps petit.

donc h*(f(xo)-eps)
tu as donc -eps<[A(xo+h)-A(xo)]/h-f(xo)
tu fais tendre h vers 0, tu as donc A'(x)=f(xo) (donc A est une primitive de f)

[Postuma]

Ha ! Merci bien totolivier, tu m'éclaircis pas mal là :o. En effet, je crois avoir déjà vu cette démonstration toute bête une fois... C'est tout bête en fin de compte :).

Quant à ma "démonstration", outre le fait qu'elle est peu rigoureuse, convient-elle ? J'ai en fait pris comme point de départ le fait de l'aire est la somme des f(x)dx (puisque f(x)dx = l'aire des miniscules rectangles) pour écrire ma 2e ligne et ainsi arriver à F(b) - F(a) ...

[Huppasacee]

Bonjour

La sommation avec la lettre sigma relle que tu le fais n'est pas bonne

Par contre, pour faire plus court en suivant ta démarche est

int de a à b (f(x)dx ) = int de a à b de[ (dF/dx)*dx]
soit

int(a à b ) de dF = ce qui revient à F(b) - F(a)

[muse]

Ben ton prof est un peu bete ou alors il avait la flemme de te le demontrer (la demo est au programme de TS et je ne m'en souvient plus)

Ensuite ta demo me parait fausse je vois meme pas pourquoi tu prend la somme de a a b-dx c'est la somme de a a b tout simplement avec dx qui tant vers 0.

Maintenant je me trompe peut etre mais regarde dans le programme de S