Courbe de Lorenz et de gini terminale es

[stephane61]

Bonjour,

J'ai un dm à faire pour jeudi. J'ai planché dessus tout le weekend mais je bloque pour plusieurs questions. Pouvez-vous m'expliquer svp?

http://imagesia.com/maths-003_16kut


a) On propose sur la figure ci-dessous deux courbes C1 et C2 de Lorenz associées à deux pays p1 et p2. Dans lequel de ces deux pays la répartition des revenus est-elle la moins inégale ?

ma réponse : la réponse la moins inégale est dans le pays 2 car la courbe de lorenz est la plus proche de la bissectrice [OA]

b) On suppose que tous les ménages d'un pays ont exactement la même part du total des revenus. on parle alors d'égalité parfaite.
Expliquer pourquoi la courbe de Lorenz est alors confondue avec le segment [OA]

ma réponse : si tous les ménages d'un pays ont exactement la même part du total des revenus et qu'il y a donc égalité parfaite alors la courbe de lorenz est confondue avec le segment [OA] car ce segment est la bissectrice représentant une répartition parfaitement égalitaire de la distribution.

c) on suppose qu'une seule personne possède la totalité des revenus. On parle alors d'inégalité totale.
Que devient dans ce cas la courbe de Lorenz?

ma réponse : je pense qu'elle serait confondue avec l'axe des abscisses (sans grande conviction) ?? au tout cas très éloignée de la diagonale.

3)a) généralités sur les courbes de Lorenz
- expliquer pourquoi une courbe de lorenz passe toujours par les points o et A

ma réponse : car c'est un indice compris entre 0 et 1

- expliquer pourquoi une courbe de lorenz ne peut jamais être au-dessus de la première bissectrice (la droite (OA) d'équation y=x tracée en pointillés sur les différentes figures)
- On pourra se baser sur un exemple

ma réponse : car il ne peut pas y avoir plus que l'égalité parfaite ??

- expliquer pourquoi une courbe de lorenz représente toujours une fonction croissante

ma réponse : car il s'agit de fréquences cumulées croissantes (bon??)

b) justifier que pour qu'une fonction f convienne, il faut qu'elle vérifie les points suivants :

- f doit être définie sur [0;1]
- f(0)=0 et f(1)=1
- f(x)<ou=x pour tout x appartient [0;1]
- f croissante sur [0;1]

mes réponses :
- f doit être définie sur [0;1] car c'est un indice compris entre 0 et 1
- f(0)=0 et f(1)=1 car la courbe de lorenz passe toujours par le point 0 et 1
- car la courbe peut être sous la bissectrice ou confondue quand il y a parfaite égalité mais jamais au-dessous et c'est un indice qui va de 0 à 1
-f croissante sur [0;1] car il s'agit de fréquences cumulées croissantes et la courbe de lorenz est toujours croissante

c) montrer que les fonctions suivantes conviennent : Je savais pas trop quoi faire ici ? calculer les dérivées ?

f1(x)=x²
f2(x)=x^3
f3(x)=(-3/4)x^3+(3/2)x²+(1/4)x
f4(x)=e^x-(e-2)x-1

mes réponses : f1(x)=x² =>f1(x)'=2x
f2(x)=x^3=>f2(x)'=3x²
f3(x)'=(-9/4)x²+3x+(1/4)
f4(x)'=je sais pas

Merci d'avance à ceux qui m'aideront

[Dzp]

Bonjour,
Les courbes de Lorenz et indices de Gini qui y sont associés constituent une méthode assez nouvelle et fort intéressante.
Pour répondre à votre question, la question b) précise les quatre conditions pour qu'une fonctions f puisse être une "courbe de Lorenz"
f1(x) = x²
- est définie sur [0;1]
- f1(0) = 0 ; f1(1) = 1
- f1(x) <= 0 pour x appartenant à l'intervalle [0;1]
- f1'(x) = 2x donc croissant pour l'intervalle [0;1]
Pour f1 c'est facile, voire évident, il suffit de faire la même chose pour les 3 autres.

Serait-ce la dérivée de f4 qui vous bloque ?
Indications : la dérivée qu'une somme est la somme des dérivées,
pour un produit y=uv ; y' = u'v + v'u
y=e^x alors y'=e^x

Bons calculs