Problème Distance d'un point à une courbe TERMINALE S

[Nanou76]

Bonjour à tous,

j'ai un exercice où je bloque, voici l'énoncé :

Soit, la fonction définie sur R par f(x) = x² - 3x + 4 et P, sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit D le point de coordonnées (0 ; 1 )

Objectif: On souhaite déterminer le point M de P qui minimise la distance DM.

A/ à l'aide d'un logiciel, émettre une conjecture sur les coordonnées du point M qui minimise la distance DM.

B/ 1) Soit M un point P
a) Exprimer l'ordonnée y de M en fonction de son abscisse x.
b) Exprimer alors la distance DM en fonction de x.
c) Montrer que DM² = x^4 - 6x^3 + 16x² - 18x + 9

2) On pose d (x) = x^4 - 6x^3 + 16x² - 18x + 9 pour tout réel x.
a) Calculer d'(x) pour tout x de R
b) On pose g(x) = 4X^3 - 18x² + 32x - 18 sur R. Déterminer le sens de variation de la fonction g.
c) Calculer g(1). En déduire le signe de g(x) sur R
d) En déduire de sens de variation de la fonction d.
e) En déduire les coordonnées du point Mo de P qui minimise la distance DM. Puis calculer cette distance minimale.

3) a) Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite ( DMo ) et de la tangente T à P en Mo.
b) Prouver alors, en utilisant le produit scalaire que les droites ( DMo ) et T sont perpendiculaires.


Voici mes réponses :
yM
A) Je pense que pour que DM soit minimale, il faut que (DM) soit perpendiculaire à la tangente de P en M. Mais je ne sais pas comment conjecturer ceci.. Les coordonnées du point M seraient alors ( 1; 2 )

B) 1) a)

b) distance entre deux points : racine carré ( xM- xD )² + ( yM- yD )²
je trouve comme résultat = 2 .

c) je ne sais pas par ou commencer ..

2) a) d'(x) = 4x^3 - 18x² + 32x - 18

b) je suppose qu'il faut dériver g(x) et calculer delta mais je trouve un delta négatif ( - 240 )

c) g(1) = 0 donc g est négatif, s'annule en 1 puis est positif

d)

[Carpate]

Bonjour à tous,

j'ai un exercice où je bloque, voici l'énoncé :

Soit, la fonction définie sur R par f(x) = x² - 3x + 4 et P, sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit D le point de coordonnées (0 ; 1 )

Objectif: On souhaite déterminer le point M de P qui minimise la distance DM.

A/ à l'aide d'un logiciel, émettre une conjecture sur les coordonnées du point M qui minimise la distance DM.

B/ 1) Soit M un point P
a) Exprimer l'ordonnée y de M en fonction de son abscisse x.
b) Exprimer alors la distance DM en fonction de x.
c) Montrer que DM² = x^4 - 6x^3 + 16x² - 18x + 9

2) On pose d (x) = x^4 - 6x^3 + 16x² - 18x + 9 pour tout réel x.
a) Calculer d'(x) pour tout x de R
b) On pose g(x) = 4X^3 - 18x² + 32x - 18 sur R. Déterminer le sens de variation de la fonction g.
c) Calculer g(1). En déduire le signe de g(x) sur R
d) En déduire de sens de variation de la fonction d.
e) En déduire les coordonnées du point Mo de P qui minimise la distance DM. Puis calculer cette distance minimale.

3) a) Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite ( DMo ) et de la tangente T à P en Mo.
b) Prouver alors, en utilisant le produit scalaire que les droites ( DMo ) et T sont perpendiculaires.


Voici mes réponses :
yM
A) Je pense que pour que DM soit minimale, il faut que (DM) soit perpendiculaire à la tangente de P en M. Mais je ne sais pas comment conjecturer ceci.. Les coordonnées du point M seraient alors ( 1; 2 )

B) 1) a)

b) distance entre deux points : racine carré ( xM- xD )² + ( yM- yD )²
je trouve comme résultat = 2 .

c) je ne sais pas par ou commencer ..

2) a) d'(x) = 4x^3 - 18x² + 32x - 18

b) je suppose qu'il faut dériver g(x) et calculer delta mais je trouve un delta négatif ( - 240 )

c) g(1) = 0 donc g est négatif, s'annule en 1 puis est positif

d)

Donc g'(x) est positif sur R
g(x) monotone croissante sur R et g(1) = 0 :
g(x) 0 soit d(x) croit sur

d(x) est minimum en x = 1

[Nanou76]

Merci pour l'aide!

J'ai presque pu tout finir!

Pour la question e) j'ai trouvé Mo ( 1 ; f(1) ) :hein: donc Mo ( 1 ; 2 ) , puis j'ai calculer DMo en effectuant: racine carré (xm - xd )² + (ym - yd )² et j'ai trouvé racine carré de 2
est ce juste ?