Coordonées

[timecrisis]

Soit ABC un triangle quelconque. On place le point P symétrique de A par rapport à B, le point Q symétrique de B par rapport a C et le point R symétrique de C apr rapport à A. On appelle I le milieu de [BC] et K le milieu de [PQ]. On appelle G et H les centres de gravité des triangles ABC rt PQR. on choisit le repere (A;AB;AC) (ce sont des vecteurs).
1) Determiner les coordonnées des points A,B,C==>c'est fait : A(0;0) B(1;0) C(0;1)
2) Déterminer les coordonnées du point I, puis celle de G ===> j'ai trouvé I(1/2;1/2) mais je ne sais pas comment faire pour trouver celles de G?
3)Déterminer les coordonnées des points R,P,Q et K
4)Démontrer que les points G et H sonts confondus.

Voila , j'ai deja posé la question il y a peu de temps mais on m'a répondu sans precision alors je rdemande :j'ai réussi a faire la question 1 et un petit peut de la 2 pouvez-vous m'aider pour la suite. Merci, en détaillant bien les calculs.Merci

[annick]

Bonsoir,
je reprends mon explication en plus détaillé:
G centre de gravité de ABC, donc GA+GB+GC=0 (tout cela en vecteurs) par définition du centre de gravité.
Donc
GA+(GA+AB)+(GA+AC)=0
3GA+AB+AC=0
AG=1/3(AB+AC)
A étant l'origine de ton repère et AB et AC les vecteurs unitaires, cela donne
g(1/3,1/3)

[annick]

On a P symétrique de A par rapport à B donc
AP=2AB soit P(2,0)
On a R symétrique de C par rapport à A donc
AR=-AC soit R(0,-1)
On a Q symétrique de B par rapport à C donc
AQ=AB+BQ=AB+2BC=AB+2(BA+AC)=AB-2AB+2AC=-AB+2AC soit Q(-1,2)

[annick]

tu peux maintenant trouver K milieu de [PQ] par la formule classique du milieu

[annick]

pour H qui est le centre de gravité de PQR, on reprend le même raisonnement que pour G
HP+HQ+HR=0 soit
HA+AP+HA+AQ+HA+HR=0
3HA+AP+AQ+AR=0
AH=1/3(AP+AQ+AR)=1/3(2AB-AB+2AC-AC) d'après ce que l'on a vu précedemment donc
AH=1/3(AB+AC)=AG
j'espère que cette fois c'est plus clair pour toi

[timecrisis]

pour H qui est le centre de gravité de PQR, on reprend le même raisonnement que pour G
HP+HQ+HR=0 soit
HA+AP+HA+AQ+HA+HR=0
3HA+AP+AQ+AR=0
AH=1/3(AP+AQ+AR)=1/3(2AB-AB+2AC-AC) d'après ce que l'on a vu précedemment donc
AH=1/3(AB+AC)=AG
j'espère que cette fois c'est plus clair pour toi

merci vous etes super c'est tres gentil. Pour calculer H je fais le systeme d'equation ??

[annick]

non, tu as AH=1/3(AB+AC) donc H(1/3,1/3) et tu vois que ce sont bien les mêmes coordonnées que G
J'espère que tu as réellement bien compris car s'il y a quelque chose qui n'est pas clair, il vaut mieux que tu demandes

[maf]

AH = AG --> AO+OH = AO+OG --> OH = OG (points confondus)

[timecrisis]

tu peux maintenant trouver K milieu de [PQ] par la formule classique du milieu

c'est quoi la formule classique du milieu ??

[annick]

soit I milieu de [AB] avec a(xa,ya) et B(xb,yb) on a xi=1/2(xa+xb) et yi=1/2(ya+yb)