Construction du corps C

[J-R]

bonjour,

où

est ce une définition ou un théorème ?

dans le dernier cas, comment le démontre t-on ?

merci

[Skullkid]

Bonjour, je pense qu'il s'agit d'une définition ("on définit la somme de deux couples de réels par..."). Par contre on peut montrer que c'est bien une loi de composition interne qui vérifie les axiomes de groupe.

[J-R]

ok merci

mais là c'est direct si c'est une définition puisque on voit que la somme de deux complexes est un complexe ?

[Antho07]

on a aussi

(a,b) (a',b')=(aa'-bb',ab'+a'b)

pour finir avec la construction de C il faut verifier que munie de ces deux lois (C,+,*) est un corps.

justifier l'existence de i tels que i²=-1;
justifier l'existence et l'unicité de la forme algébrique d'un nombre complexe z sous la forme z=a+bi.

Puis on peut montrer que C contient une copie de R.

car l'application: {(a,0) qui à a-> (a,0)

est un isomorphisme de corps



En faite ici on commence par définir C comme:

={(a,b) }

[J-R]

oui j'allais venir sur la multiplication...

Puis on peut montrer que C contient une copie de R.

car l'application:

est un isomorphisme de corps

mon prof m'a parlé de ca morphisme, isomorphisme ...

et justement pour prouver ca elle m'a dit qu'il fallait prouver que \phi était un morphisme et qu'il était injectif je crois mais j'ai laisser tomber je connais pas ce vocabulaire et sur wiki c'est du charabia....

[Skullkid]

Oui, enfin faut quand même vérifier les autres axiomes (élément neutre, associativité, existence d'un inverse), mais ça reste évident.

Après t'as plus qu'à prendre la loi multiplicative et montrer que est un corps. Puis tu peux identifier i, etc

Edit : un morphisme c'est une application qui conserve la structure : f(a+b) = f(a)+f(b), f(a*b)=f(a)*f(b), et f(1) = 1 (le 1 complexe, élément neutre de la multiplication). Pour l'injectivité, t'as juste à montrer que 0 (réel) est le seul antécédent de 0 (complexe) par f.

[J-R]

justifier l'existence et l'unicité de la forme algébrique d'un nombre complexe z sous la forme z=a+bi.

benh je ne vois pas comment le prouver ... ca découle du fait que C est une bijection de R^2 non ?

[Antho07]

z=(a,b)=(a,0)(1,0)+(0,b)(0,1)
Or


(0,1)=i car i²=(0,1)(0,1)=(0²-1²,0)=(-1,0)=-1

d'ou

z=a+bi car les nombres de la forme (z,0) peuvent s'ecrire simplement z par rapport à l isomorphisme que j'ai ennonce plus haut.

[J-R]

oui ca ca marche ...

je reviendrais mais il faut que je voie le vocabulaire avant de ma lancer dans ce genre de démo ...

merci