Conjugué - réels

par **Dinozzo13** » 02 Avr 2010, 17:15

Bonjour, quand on parle de conjuqué d'un réel, cela implique-t-il que ce réel est de la forme

avec

et

?

par **Nightmare** » 02 Avr 2010, 17:19

Salut,

je n'ai pas trop compris pourquoi ce serait de cette forme. Déjà, parler de conjugué "seul" n'a pas vraiment de sens. Si l'on parle de la conjugaison complexe, alors le conjugué d'un réel est lui même.

Si l'on se place dans

le conjugué d'un élément

est

.

Il faut préciser dans quel cadre tu parles de "conjugué".

par **Ben314** » 02 Avr 2010, 17:19

Sauf erreur, si tu veut avoir UN SEUL conjugué, c'est effectivement le seul cas qui me viennent à l'esprit ou on emploie le mot "conjugué" (avec a,b des quotients et b non carré d'un quotient)
Bon, évidement, comme tout mot qui se respcte, on peut surement l'employer dans d'autre contextes...

par **Dinozzo13** » 02 Avr 2010, 17:24

:+++: d'accord. En fait la vraie nature de mon topic est de déterminer un autre moyen de résoudre

.
Or je sais que ses racines sont

et

mais je ne vois pas comment les retrouver sans effectuer le changement de variables

par **Ben314** » 02 Avr 2010, 17:31

Déjà, avec ton changement de variable, tu me semble mal barré : tu fait quoi du x-2 qu'il te reste au bout ?

par **Dinozzo13** » 02 Avr 2010, 17:35

j'arrive à

, d'où les racines que j'ai trouvées.
Ce qui m'intéresserait, ce serait de trouver un moyen moins "dur" de résoudre cette équation.

par **Ben314** » 02 Avr 2010, 17:36

Je vient de voir d'où "sort" ton équation :
en fait tu est parti de f(x)=x²-3x-2 et tu essaye de résoudre f(f(x))=x.

Dans ce cas, il faut commencer par résoudre l'équation f(x)=x, vu que toute solution de cette dernière sera aussi solution de f(f(x))=x.

Si tu préfère, cela veut en fait dire que l'on peut mettre f(x)-x = x²-4x-2 en facteur dans ton expression.
Un fois que tu sait que l'on peut factoriser par x²-4x-2, tu peut "poser" X=x²-4x-2, c'est à dire x²-3x-2=X-x pour "alléger" les calculs.

par **Dinozzo13** » 02 Avr 2010, 17:40

Je sais pas si t'a eu le temps de lire mon post, mais c'est ce que j'ai fait ^^ :+++:

par **Ben314** » 02 Avr 2010, 17:48

Bon, en ce qui me concerne personellement moi même... :zen: , je vois pas de moyen plus simple de résoudre cette équation (à par peut-être la donner à manger à maple... :mur: )
Déjà, pour une équation du 4em degrés, je trouve que faut pas se plaindre : c'est encore "assez" simple...

par **Dinozzo13** » 02 Avr 2010, 17:51

je te propose un truc :
On étudie les variation du polynôme

défini par :

mais je pense pas que ca serve à démontrer que les solutions sont deux couples de réels conjugués :triste:

par **Ben314** » 02 Avr 2010, 18:03

Dire que "les solutions sont des couples de réels conjugués", c'est juste une façon bien détournée de dire que ton polynôme se factorise comme produit de deux polynômes de degrés 2 à coefficients dans Q...

En général, étudier les variations d'une fonction, ça permet d'avoir une idée du nombre de zéros ainsi que de leur position, mais ça donne trés rarement la valeur exacte des zéros...

par **Dinozzo13** » 02 Avr 2010, 18:13

Donc en résumé, il n'y aurait pas de méthode plus simple.
Par contre, je ne suis pas sûr d'avoir bien saisit la méthode pour résoudre

pourrais-tu m'expliquer au cas où ^^

par **Ben314** » 02 Avr 2010, 18:27

Pour reprendre ton exemple :

On sait que les racines de

(qui sont distinctes) sont aussi des racines de

et cela signifie que l'on peut mettre en facteur

dans

.
Cela incite fortement à écrire que

puis que

Ce qui te donne la factorisation de g en deux polynômes de degrés 2.

par **Dinozzo13** » 02 Avr 2010, 18:51

désolé, perso, je pige pas bien ta méthode :triste:
Moi, je vois plutôt ça comme ça :
Si un réel

est solution de

alors il est aussi solution de

car

.
Je résous donc

.
puis je procède par identification pour trouver les deux autres solutions.

par **Ben314** » 02 Avr 2010, 18:56

Regarde quelle longueur ça te prend à écrire (en particulier "l'identification") et compare avec ce que je propose...

par **Dinozzo13** » 02 Avr 2010, 18:58

Ben314 a écrit:On sait que les racines de (qui sont distinctes) sont aussi des racines de et cela signifie que l'on peut mettre en facteur dans .

C'est ce passage là que je ne comprends pas bien :triste:

par **Ben314** » 02 Avr 2010, 19:07

Ca effectivement, je sais pas si vous le voyez au lycée, à part pour les polynômes de degrés 1...
C'est assez simple : tu as sans doute du voir que, si un polynôme P vérifie P(a)=0 alors cela implique que l'on peut mettre (X-a) en facteur.
Il suffit de comprendre que, si tu as un polynôme Q par exemple de degrés 3 dont les racines sont a,b et c (distinctes) et que se sont aussi des racines de P alors on peut factoriser Q dans P.
La preuve est trés con : vu que a,b,c sont les 3 racines de Q, on a Q(x)=k(x-a)(x-b)(x-c) et, vu que a,b et c sont aussi racines de P, c'est que dans P, on peut mettre en facteur à la fois (x-a), (x-b) et (x-c), c'est à dire que l'on peut mettre en facteur Q.

En plus, ici, tu t'en fout un peu, si j'avais voulu rester "mystèrieux", j'aurai trés bien pu écrire "direct" :
"je pose F=x²-4x-2 donc g(x)=... et, miraculeusement, je me rend compte que l'on peut factoriser F"
Le laïus avant c'est pour essayer d'expliquer que c'est pas un coup de bol que ça marche, c'est de la science... :mur:

par **Dinozzo13** » 02 Avr 2010, 19:33

ok, je crois avoir compris. Cependant, je ne comprends pas bien quand tu l'appliques pour ta démonstration.

par **Ben314** » 02 Avr 2010, 19:38

Le "F" de la preuve, il a rien de mystérieux, c'est uniquement pour gagner du temps dans les développements : si tu veut tu peut réécrire les deux lignes de calcul (y'a quelle de vraiment importantes, le reste c'est pour expliquer pourquoi ça va marcher) en remplacant partout où il y a "F" par (x²-4x-2). Tu voit bien qu'il y a rien de compliqué : je développe un carré et point barre.

par **Dinozzo13** » 02 Avr 2010, 19:44

ok, je vais essayer pour voir, avec un autre exemple :+++:

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