Congruences terminale

[manhy]

Bonjour (ou bonsoir),

Je vous donne l'énoncé de l'exercice sur lequel je bloque complètement :
n désigne en entier naturel impair.
Démontrer que 20^n+21^n+22^n+23^n+24^n est divisible par 5

Comme on travaille sur les congruences en ce moment je suppose qu'il faut les utiliser.
J'ai donc déduit que l'exercice revient à démontrer que :
20^n+21^n+22^n+23^n+24^n congru à 0 [5] avec n impair, n= 2m+1

Mais pour prouver ça, je n'ai vraiment aucune idée d'où partir...
Pourriez vous m'éclairer s'il vous plait ?

Merci d'avance, et bonne après midi ! :)

[Ericovitchi]

tu peux faire par les congruences en prenant tous les cas puis en regardant ce que ça donne pour n^5 - n.

Sinon la grosse astuce c'est écrire n^5-1=(n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2)+ 5 (n – 1) n (n + 1)
le premier terme est le produit de 5 nombres consécutifs il est divisible par 5 (et même par 120)
le second est le produit de 3 nombres consécutifs et du produit 5, il est divisible par 6 et 5 donc par 30

Au total la somme des deux termes est divisible par 30 (et à fortiori par 5 évidemment).

[busard_des_roseaux]

bonjour,

fais ton calcul d'exposant avec les puissances des résidus. A un moment, on tombe sur 4^m,9^m et 16^m qui ne sont pas trop éloignés de multiples de 5