Congruence

[maxoudu94]

Bonsoir,
J'aurai besoin d'aide à propos d'un exercice de maths dont voici l'énoncé :

Démontrer que pour tout entier naturel n,
n²+(n+1)²+(n+2)²;)0 [10] équivaut à (n+1)²;)6 [10]

En vous remerciant...

[Nightmare]

Salut :happy3:

(n+2)²=(n+1+1)²=(n+1)²+2(n+1)+1
n²=(n+1-1)²=(n+1)²-2(n+1)+1
D'où :

Ainsi :


On cherche l'inverse de 3 modulo 10, c'est 7 (car 3x7=21=1)
d'où :


:happy3:

[Noemi]

Ecrire : n²+(n+1)²+(n+2)² = 3(n+1)²+2

[maxoudu94]

je n'ai pas bien compris le raisonnement, pouvez vous le préciser s'il vous plait.

[Nightmare]

Qu'est-ce que tu n'as pas compris?

[maxoudu94]

Déja, il n'y a que des égalité, et aucune relations de congruence, et puis je ne distingue pas la démonstration dans un sens, puis dans l'autre

[Nightmare]

Oui tu peux remplacer les égalités par des relations de congruences à partir de "On cherche l'inverse ..." enfin c'est pareil de mettre des égalités.

Je n'ai fait qu'un sens, l'autre sens étant direct avec le résultat n²+(n+1)²+(n+2)²=3(n+1)²+2

[maxoudu94]

a daccord merci
Ensuite, on me demande d'en déduire les entiers naturels, multiples de 10 inférieurs à 5000, qui sont la somme des carrés de trois entiers consécutifs.

La aussi, je bloque...

[Nightmare]

ben n²+(n+1)²+(n+2)² c'est une somme de 3 carrés consécutifs non?

[maxoudu94]

oui, mais ils doivent etre multiples de 10 inférieurs à 5000

[Nightmare]

C'est une application directe de la première question!!

Si n²+(n+1)²+(n+2)² est un multiple de 10, cela veut dire qu'il est congru à combien modulo 10 ? donc??