Congruence, résolution d'équation

par **moijhd** » 02 Nov 2006, 12:56

Bonjour,

Soit a N :
a² + 9 = 2^n avec n N et n => 4

En raisonnant modulo 4, montrer que cette equation n'a pas de solutions

Je ne comprend pas " En raisonnant modulo 4 " : a congru à 0 modulo 4 ?
Est ce que je deduis que a = racine ( 2^n - 9 ) ?
Faut - il raisonner par récurrence ?

par **BancH** » 02 Nov 2006, 13:10

Comme

alors

Si

alors

...

Si

alors

...

Si

alors

...

Si

alors

...

Donc pas de solutions.

par **moijhd** » 02 Nov 2006, 18:32

Je comprends pas...

On fait les quatre cas de telle sorte que l'on est les quatre restes possibles lorsque l'on divise par quatre mais comment conclure et que dire ?

par **BancH** » 02 Nov 2006, 19:03

Si

alors

Si

alors

Si

alors

Si

alors

Quelque soit

,

n'est pas un multiple de

, or

l'est donc il n'y a pas de solutions.

par **moijhd** » 03 Nov 2006, 10:36

Oki !

Dans le même genre d'idée, j'ai :

Soit a N :
a² + 9 = 3^n avec n N et n =>3

Montrer que 3^n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.

Je suppose que c'est le même principe mais j'ai fai un raisonnement par récurrence :

On pose n = 2k + 1 avec k Z et k => 1
Initialisation :
Pour n = 2k + 1 avec k =1, soit n = 3
3^3 congru à 3 modulo 4

Hypothèse de récurrence : 3^(2k+1) congru à 3 [4]
3^(2k+1+1) congru à 3^(2k+1) * 3 modulo 4
3^(2k+2) congru à 3² modulo 4
3^(2k+1) congru à 3 modulo 4

donc pour n = 2k + 1, soit n est une puissance impaire, 3^(2k+1) est congru à 3 modulo 4

Par ailleurs, s'il on continue le raisonnement
3^(2k) * 3 congru à 3 modulo 4
3^(2k) congru à 1 modulo 4

donc pour n = 2k, soit n est une puissance paire, 3^(2k) est congru à 1 modulo 4

Qu'en pendez vous ?

par **BancH** » 03 Nov 2006, 10:55

Oui c'est bon mais tu peux présenter comme ça:

Donc

et

par **moijhd** » 04 Nov 2006, 10:40

Dans la suite :

Soit a N :
a² + 9 = 3^n avec n N et n =>3
Pour n est une puissance impaire, 3^(n) est congru à 3 modulo 4
Pour n est une puissance paire, 3^(n) est congru à 1 modulo 4

Montrer que si a existe, il est impair et en déduire que nécessairement n est p
pair

J'ai montré que a est pair mais je n'arrive pas à en déduire que n est pair :

J'ai fait :

a² + 9 coingru à 1 modulo 4 ou
a² + 9 congru à 2 modulo 4

donc 3^n doit être congru à 1 modulo 4
ou 3^n doit être congru à 2 modulo 4

or
Pour n est une puissance impaire, 3^(n) est congru à 3 modulo 4
Pour n est une puissance paire, 3^(n) est congru à 1 modulo 4

donc n doit forcément est pair !

C'est bon ?

par **moijhd** » 04 Nov 2006, 10:55

Merci ! Je sens que je progresse...

par **BancH** » 04 Nov 2006, 10:57

Faut utiliser: un carré est congru a 0 ou 1 modulo 4.

par **BancH** » 04 Nov 2006, 11:03

par **BancH** » 04 Nov 2006, 11:07

Tu dis que

est pair et pour

:

car

est pair.

Donc nécessairement

Or,

seulement si

est pair.

Donc

et

sont pairs.

par **moijhd** » 04 Nov 2006, 11:09

C'est bon ? lol : Je crois que je commence à comprendre....

par **BancH** » 04 Nov 2006, 11:12

Tu viens de modifier ton équation ?!

C'était pas

y a cinq minutes ?

par **moijhd** » 04 Nov 2006, 11:16

(Désolé)

Par ailleurs, dans la suite, on change d'équation :

a² + 9 = 5^n avec a N, n N, N => 2

En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impair :

Si a congru à 0 modulo 3, alors a²+9 congru à 0 modulo 3
Si a congru à 1 modulo 3, alors a²+9 congru à 1 modulo 3
Si a congru à 2 modulo 3, alors a²+9 congru à 1 modulo 3

or

Si 5^1 congru à 1 modulo 3
Si 5^2 congru à 2 modulo 3
Si 5^3 congru à 1 modulo 3
donc 5^(2k) congru à 1 modulo 3
et 5^(2k+1) congru à 2 modulo 3 pour tout k Z

donc

si n est impair, alors l'équation est impossible

Est ce correcte ?

par **BancH** » 04 Nov 2006, 11:18

Ouais c'est bon.

par **moijhd** » 04 Nov 2006, 11:20

Oki ! Merci beaucoup ! Je sens de tout façon très mal l'interro là dessus mais bon je crois que j'ai bien tout compris ! :happy2:

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