Equation-congruence Dans Z. ( arithmetique )

[Gonra]

Bonjour ,

Je dois résoudre cette équation dans Z , j'ai un doute dessus si vous pouvez me dire si c'est juste .

3x²-x-2 ;) 0 (41)

j'ai factorisé avec Delta etc

3(x+1)(x-(2/3)) ;) 0 (41)

3 premier avec 41 donc 41 divise (x+1) ou (x- (2/3)) (lemme de gauss)

x+1=41k ou x-(2/3)=41k
x=41k-1 ou x=41k+(2/3)

donc il ya 2 solutions cette equation

j'ai bon ?

Merci d'avance pour votre aide

[Nightmare]

Salut,

Déja, que signifie 2/3 modulo 41?

[Gonra]

le reste est 2/3 par 41 ( division euclidienne )

[Nightmare]

Tu sais diviser une fraction par un entier toi?

[capitaine nuggets]

Bonjour ,

Je dois résoudre cette équation dans Z , j'ai un doute dessus si vous pouvez me dire si c'est juste .

3x²-x-2 0 (41)

j'ai factorisé avec Delta etc

3(x+1)(x-(2/3)) 0 (41)

3 premier avec 41 donc 41 divise (x+1) ou (x- (2/3)) (lemme de gauss)

x+1=41k ou x-(2/3)=41k
x=41k-1 ou x=41k+(2/3)

donc il ya 2 solutions cette equation

j'ai bon ?

Merci d'avance pour votre aide

Salut !

Ne perd pas de vue que .
En factorisant équivaut à .
Or est premier donc ou .
Je te laisse poursuivre :+++:

[Gonra]

Je trouve x -1 [41]
Donc x = 41K -1 K Z

Pour le 2eme

3x=2 [41] le mieux est que je raisonne par disjonction des cas ?

[Gonra]

par disjonction des cas je trouve que pour x = 28 3x = 84 ;) 2 [41]

ainsi je trouve x = 41k + 28 pour le 2eme

j'ai bon ?

[capitaine nuggets]

Je trouve x -1 [41]
Donc x = 41K -1 K Z

Pour le 2eme

3x=2 [41] le mieux est que je raisonne par disjonction des cas ?

Tu veux tester 41 cas ?

Moi je te propose la méthode suivante :
On cherche à trouver l'inverse de 3 pour la multiplication dans l'ensemble .
Pour cela, on cherche deux entiers et tels que .
Prends le plus petit u positifs possible ensuite.
Comme est l'inverse de pour la multiplication dans , il vérifie donc c'est-à-dire .

[capitaine nuggets]

par disjonction des cas je trouve que pour x = 28 3x = 84 2 [41]

ainsi je trouve x = 41k + 28 pour le 2eme

j'ai bon ?

Si tu l'as fait correctement par disjonction des cas, alors oui : c'est bon.

[Gonra]

3u+41v=1 Pgcd(41;3)1
avec la division euclidienne :

41 = 3 * 13 +2 <=> 2 = 41 + 3 (-13)
3 = 2*1 + 1 <=> 1 = 3 +2(-1)
<=> 1 = 3 -(41 + 3 (-13)) = 41(-1) + 3(14)
u=14 v=-1

Donc 3(14)x = 2(14) (41)
x;) 28 (41)

Donc x=41k+28

C'est plus rapide :lol5:

Merci pour l'aide Capitaine nuggets et Nightmare
passez une bonne journée :happy3: