Comportement asymptotique

[chaperon-r0uge]

Bonjour,

Voici un long exercice qui m'est proposé, est j'aimerais le réussir surtout que mon DS sur les suites est bientôt prévu !
Cependant, j'ai un petit problème pour une question...

Voici l'énoncé:

Les suites U et V sont définies pour tout n>1 par Un = 1/n et Vn = 1/(n²)

Les suites H et S sont définies pour tout n>1 par Hn = 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n) et Sn = 1+(1/(2²))+(1/(3²))+...+(1/(n²)).

On se propose d'étudier le comportement asymptotique des suites H et S.

Après avoir étudier la monotonie de H (J'ai trouvéla quite H croissante) on me demande d'exprimer H2n - Hn et d'en déduire que H2n - Hn > 1/2.

Voici ce que j'ai fais:

H2n= 1+ 1/2 +1/3 +...+ 1/2n + 1/(2n+1)

Hn= 1 + 1/2 +1/3 + ... + 1/n + 1/(n+1)

H2n-Hn = 1/(2n) + 1/(2n+1) - [(1/n) + 1/(n+1)]

Après, j'ai tout mis sur le même dénominateur, mais je me retrouve avec des n² et n^3 et je n'en fini pas...

Une aide me serait la bienvenue.
Merci d'avance.

[Alexandre_de_Prepanet]

Si ton énoncé précise Hn = 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n) , pourquoi écris-tu un peu plus loin dans tes réponses que
Hn= 1 + 1/2 +1/3 + ... + 1/n + 1/(n+1) ?

A mon avis tu devrais écrire H2n - Hn sous forme de sigma et voir ce qui apparait.

[Alexandre_de_Prepanet]

H2n - Hn = - =

Est ce que tu ne peux pas minorer chacun des n termes de cette somme par 1/2n par hasard ? Que peux-tu ensuite en déduire d'intéressant vis à vis du résultat que tu souhaite obtenir ?

[chaperon-r0uge]

Merci beaucoup j'ai réussi à prouver !

J'ai aussi une autre question:

Est-ce que les suites Hn et Sn convergent ?

Voici ma rédaction mais je voulait savoir si c'était exact ou non:

Soit la suite Hn= 1 + 1/2 +1/3 +...+ 1/n
Soit la suite Sn= 1+ 1/2² +1/3² +...+1n²

Voici ce que j'ai fait pour Hn:

Soit la suite Hn= 1 + 1/2 +1/3 +...+ 1/n + 1/n+1

or 1/n + 1/n+1

=(2n+1)/(n(n+1))

soit [2+1/2]/ n+1

or limite (n+) qd ntend vers linfini est +infini

alors limite [2n+1/2]/ n+1 = 0

non ?

Merci de me répondre svp.