Etude basique du comportement asymptotique

[Paradisier]

Bonjour, voici l'intitulé de l'exercice :
On définit la fonction g sur R par :
g(x)=(x-2)e^x+x avec C la courbe représentative de cete fonction.
Soit D la droite d'équation y=x
1) Montrer que D est asymptote à C
2) Etudier les positions relatives de D et C[/B]
Je sait que D à un comportement asymptotique par rapport à C (asymptote oblique) à partir de x=-5 environ. Cependant je ne sait comment prouver que D est asymptote à C en utilisant :
lim+oo [g(x)-(ax+b)]=o . (défénition asymptote oblique abrégé)
Internautes, pouvez vous m'aidez s'il-vous plait ?

[Rebelle_]

Bonjour ! :)

Mon aide ne va être que limitée, je n'ai jamais étudié les exponentielles ; en revanche je sais que la définition que tu cites est la bonne pour démontrer ce que tu cherches. Tu peux écrire g(x) - x et étudier la limite de cette différence en + ou - l'infini, selon le cas.

=)

[Paradisier]

D est asymptote à C en -oo, cependant quand je calcule la limite de:
g(x)-(x)= (x-2)e^x soit (xe^x)-(2e^x).
Lim -oo de (xe^x)=Forme inderterminée (-00 X 0 ). Donc je suis coincé.

[Rebelle_]

Hum, d'après ce que j'en sais on peut écrire (x-2)e^x = e^x(-2+x) non ? ^^' Et là, pour étudier la limite en - l'infini ce n'est pas trop dur non ? =P

PS : petite erreur de signes :$

[Paradisier]

Oui c'est vrai, cependant lim-oo e^x=o et lim-oo (2-x)=+oo.
Donc il me semble si je me trompe pas que l'on retombe sur une Forme Indeterminée car lim +00X0=FI

[Arnaud-29-31]

Je sait que D à un comportement asymptotique par rapport à C (asymptote oblique) à partir de x=-5 environ.

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par la ....

On étudie en effet la limite de (x-2).exp(x) en qui a première vue est effectivement une forme indéterminée. Cependant tu dois avoir dans ton cours quelque chose qui parle de la limite de (du genre théorème des croissances comparées)

[Rebelle_]

Oui tu as raison, c'est une forme indéterminée. J'imagine qu'il faut alors factoriser d'une certaine manière pour s'en tirer mais je t'avoue que je ne peux pas t'aider plus que ça :/

[Paradisier]

[quote="Arnaud-29-31"]Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par la ....
Ce que je veux dire par là, c'est que c'est à partir de x=-5 (axe des abscisses dans un repère orthonormé) que l'asymptote est visible.

Non je n'ai pas encore vu ce théorème des croissances comparées, ainsi quelle est la limite de xe^x en -oo ?

[Arnaud-29-31]

Tu n'as nulle part dans ton cours ou bien ?

[Paradisier]

Oups si évidemment, les croissances comparées à l'infini. Ainsi lim-00 xe^x=0
donc lim -00 xe^x-2e^x= 0-0=0.
C'est pourquoi D est asymptote à C. Mon erreur: dire que xe^x=F.I pour lim-00.

[Arnaud-29-31]

Oui, on a bien

[Paradisier]

Cependant je ne sait pas comment étudier les positions relatives d'une asymptote avec une courbe. Dois je utiliser les propriétés simples vus en seconde ou en existe t'il une spécifique ( je n'en ai jamais vu) ?

[Arnaud-29-31]

Bein c'est pas bien compliqué ... si C est au dessus de D, quel est le signe de g(x) - x ?

[Paradisier]

:k2k: ..........................

[Arnaud-29-31]

Si la courbe représentative de g est au dessus de la courbe d'équation y=x, quel est le signe de g(x) - x .... ?

[Paradisier]

Mince quiproquo, le petit smiley utilisé traduisait ma honte et non mon ignorance. Je sait à présent que sur ]-00;0] C en dessous de D et que sur [2;+00[ C au dessus de D.

[Arnaud-29-31]

Okayy, j'ai pensé que ca traduisait une absence de réponse (genre tu sais l'élève qui gonfle ses joues et fait des yeux tout rond quand le prof lui demande un truc ^^).

Et donc oui c'est bien ca (à l'erreur de frappe près) l'étude du signe de (x-2)exp(x) revient à étudier le signe de x-2 puisque l'exponentielle est toujours positives.

[Paradisier]

Oui c'est vrai car la fonction exponentielle est strictement positive sur l'ensemble des réels R.

[Paradisier]

Merci beaucoup au deux internautes qui ont prit de leurs temps pour m'aider.C'est sympa. Bonne fin de journée. :zen: