Complexes Term S - Réel ou complexe ?

[Rikku]

Voilà, j'ai un petit exercice sur les complexes à faire et je n'arrive pas à commencer.
Voici l'intitulé :

a) u est un nombre complexe tel que |u|= 1, u différent de 1 et z est un nombre complexe quelconque.

Montrer que Z est réel :
Z = z - uz(barre)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
1 - u

(j'arrive pas à le présenter, c'est z - uz(barre) divisé par 1-u)
Donc voilà, j'ai essayé de remplacer par x+iy et x(u)+iy(u) mais ça donne des choses compliquées, j'ai essayé de faire z=z(barre) et ça fait aussi des choses compliquées, j'ai également pensé à faire arg (Z) = 0 ou Pi mais rien à faire...
Donc je n'arrive pas à démarrer sur cette question.
Ensuite quand j'aurais trouvé je pense que pour la b) ça ira.
Mais j'aimerais quand même avoir une petite piste

b) Montrer que si Z est réel, alors z est réel ou |u| = 1

La réciproque je pense...

Merci beaucoup!

[hellow3]

Salut.

Moi j'ai fait Z(barre)= ...
puis j'ai multiplié par u/u.
et simplifié en sachant u*u(barre)=|u|=1.

[Rikku]

Moi j'ai : u*u(barre)=|u|²=1. car |u| = racine (x²+y²)
Mais bon aucun soucis car ça fait 1 tout de même ^^
En effet, ça marche, car j'ai :

Z(barre) = [(z-uz(barre)](barre) / (1-u)(barre)
Et quand je multiplie par u et que je simplifie comme tu me l'as montré ça me donne Z.

Donc Z(barre)=Z donc Z est réel.

Merci beaucoup .

Pour la b), j'essaye de partir à l'envers, c'est-à-dire je pars de Z(barre)=Z, mais ça me donne z=z(barre) + uu(barre)(z-z(barre)), et donc là ça me donne pas z=z(barre) (ce qu'il faudrait pour que z soit réel...)

[hellow3]

Pour b.

t'es sur de :b) Montrer que si Z est réel, alors z est réel ou |u| = 1

[Rikku]

Oui, montrer que si Z (grand Z, donc z-uz(barre) / 1-u) est réel, alors petit z est réel ou |u| = 1 (je viens de revérifier).

Et je tombe sur z-z(barre)= -z(barre) + z (logique xD)
Donc faut partir autrement et je ne vois pas trop comment

[hellow3]

Oui, c'est bon.

je suis parti de Z=Z(barre).
Et j'ai mis au même denominateur. Pour que ça soit possible, t'en tire une condition sur u ( u-u(barre) non nul donc |u| pas egal à 1).
Et t'aboutis à z=z(barre).

sinon c'est que |u|=1

[Rikku]

Tu peux réexpliquer car j'ai pas du tout compris, j'arrive pas à mettre au même dénominateur, c'est quoi ton dénominateur commun, moi j'ai (1-u)(1-u(barre)) ...

[hellow3]

J'ai le même denominateur.

et en haut:(z-uz(barre)(1-u(barre)) = (1-u)(z(barre)-u(barre)z)
tu develloppes et ca s'en va.

[Rikku]

Okay ça j'ai réussis ça donne z=z(barre)
Mais j'ai pas trop compris pour la condition du dénominateur et le lien avec |u|=1

[hellow3]

En fait, t'as z/((1-u)(1-u(barre)) = z(barre)/((1-u)(1-u(barre))

equivalent à z=z(barre) et ((1-u)(1-u(barre)) non nul.

[Rikku]

Oui ça je l'ai fait, ce qui revient à 1-u différent de 0 et 1-u(barre) différent de 0
Donc u différent de 1 et u(barre) différent de 1.
Donc z=z(barre) et u différent de 1

Mais j'arrive pas à faire le lien avec |u|=1 quand t'as dit "sinon c'est que |u|=1"

[hellow3]

C'est la fatigue!

figures-toi que en relisant, maintenant, moi non plus je vois pas pourquoi j'ai écris ça!

[Rikku]

Oui sûrement ^^
Mais là j'ai plus d'idée car ils veulent "ou |u|=1"
Là j'ai z=z(barre) avec u différent de 1
Mais après... =/

[hellow3]

quand tu regardes (1-u)(1-u(barre))=1+uu(barre)-uu(barre)
si tu remplaces u par i, ca fait 0.

[Rikku]

Euh mais pourquoi tu fais ça en fait je comprends pas =/ !
Et chez moi (1-u)(1-u(barre)) ça fait pas ça...
Ca fait 1 - u - u(barre) + uu(barre)
Et pourquoi remplacer u par i, franchement je vois pas le rapport =/

[hellow3]

t'as raison.
(1-u)(1-u(barre)) = pour u=i ca fait 0 non?

[Rikku]

Oui d'accord mais le lien avec l'exercice ? Je comprends pas pourquoi on doit remplacer u par i

[hellow3]

Non, je cherchais comme toi d'ou il venait ce |u|=1.

[hellow3]

T'es sur du ou |u|=1.

[Rikku]

Ouai et je trouve ça super bizarre dans cet exercice =/
Faut montrer que si Z est réel alors soit z est réel soit |u|=1 ... c'est bizarre je trouve