Combinaisons de molécules

[Le Chat]

Pour construire des molécules, on dispose d'un cycle fermé formé par 4 atomes de carbone. Sur chaque atome sont attachés précisément 2 atomes/groupes d'atomes identiques/différents.

On dispose d'un groupe (CH3), 2 atomes de (Cl) et de 5 atomes de (H), totalisant 8 atomes/groupes d'atomes, soit 2 par carbone.

La question est la suivante: Combien de molécules différentes peuvent être formées??

Des suggestions??

Mon idée est de partir de la combinatoire C( 2 dans 8) = 8!/(2!6!) et d'y apporter quelques changements...lesquels??

[Fred_Sabonnères]

Ne serait-ce pas des permutations avec répétitions?
:hein3:

Je me demande s'il ne faut pas également diviser ce résultat par 2 à cause de la symétrie des molécules... :marteau:

[Skullkid]

Bonjour, est-ce un exercice issu d'un manuel scolaire ou un truc un peu plus ouvert genre "énigme" ? Parce que la réponse attendue risque d'être différente selon que celui qui pose la question a des connaissances en stéréochimie ou pas... En fait, l'énoncé est soit mal posé, soit très piégeux. En ce qui me concerne, la réponse pourrait être 21 ou 42, selon le contexte dans lequel l'énoncé est posé (je détaillerai ultérieurement si besoin).

Le seul truc sur lequel tout le monde devrait être (je pense) d'accord, c'est que par "molécule", on entend un édifice dans l'espace 3D. Ces édifices peuvent tourner sur eux-mêmes, de sorte que, par exemple, la molécule ABC est la même que la molécule CBA (elles sont juste vues sous un angle différent), mais ABC est une molécule différente de ACB (puisque dans le premier cas le B est au milieu, alors qu'il est au bord dans le second). De même, le carré ABCD est le même que les carrés BCDA (on tourne d'un quart de tour dans le plan) et BACD (on regarde le carré par derrière). Du coup, quand on dénombre, il faut prendre en compte les différentes façons de construire la même molécule.

[Le Chat]

En fait, l'énoncé est soit mal posé, soit très piégeux. En ce qui me concerne, la réponse pourrait être 21 ou 42, selon le contexte dans lequel l'énoncé est posé (je détaillerai ultérieurement si besoin).

J'admet que j'aurai du préciser ce que j'entend par molécule. Effectivement, ACB est la même molécule que BCA, par exemple. Il faut donc éviter de compter une même molécule plusieurs fois, d'où la difficulté.

D'où vient le 21 stp??

[Skullkid]

Si la question est issue d'un manuel scolaire de maths, les auteurs ont probablement voulu faire les malins en parlant d'atomes et de molécules, mais ils ont sans doute imaginé un carré représentant le cycle de 4 carbones, et fait un dessin du genre

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où à la place des 8 "H" on doit disposer 5 "H", 2 "Cl" et un "CH3". Admettons qu'on numérote les 8 places libres à remplir en commençant par celle tout en haut, à gauche, et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre. On se rend compte que quelle que soit la position du CH3, on peut toujours faire des rotations qui vont bien (qui ne changent pas la molécule elle-même) pour que le CH3 se retrouve en position 1. Du coup il ne reste plus qu'à placer les 2 Cl et remplir le reste avec des H, c'est-à-dire qu'on tombe sur 2 parmi 7 = 21 molécules différentes.

Sauf qu'en vrai, un cycle de 4 carbones, ben c'est pas plat (voir par exemple un modèle 3D du cyclobutane ici). Et du coup, on peut faire la différence entre les deux liaisons libres qui partent d'un carbone donné : y a une liaison qui part du même côté que les deux carbones adjacents, et une liaison qui part de l'autre côté. Donc on ne peut plus toujours s'arranger pour faire tourner la molécule de sorte que le CH3 soit toujours en position 1 : il est soit du même côté que les carbones adjacents, soit de l'autre côté. Dans ce cas, le calcul donne 42 molécules possibles. (C'est donc une piste quant à la Grande Question sur la vie, l'univers et le reste)

Si tu te sens d'attaque pour approfondir ce genre de problème, tu peux essayer de te renseigner sur la formule de Burnside, qui donne un cadre théorique (assez compliqué, c'est du niveau post-bac) pour résoudre les questions du types "combien d'objets vraiment différents puis-je créer si j'ai tels éléments de base ?"

Edit : à la réflexion, en fournissant suffisamment d'énergie on doit pouvoir "retourner" le cycle carbone, le souci avec cet argument c'est qu'en fournissant suffisamment d'énergie on peut casser la molécule et la reformer comme on veut...