Combinaisons

par **GeorgeB** » 15 Juin 2010, 10:29

Bonjour, je dois déontrer que :

et je n'ai pas trop d'idées .. comment faire ?
Merci !

par **Ben314** » 15 Juin 2010, 10:30

Salut,
Récurrence...

par **Micki28** » 15 Juin 2010, 10:31

Bonjour,

A coup d'oeil... Je dirais...

Récurrence !

par **benekire2** » 15 Juin 2010, 10:37

salut ! Effectivement la récurrence me parait le plus simple !

Une méthode plus moche consiste a réécrire en :

et montrer que chaque "bout" de fraction ( au nombre de 2n ) est inférieur à 2. Mais c'est vraiment moche.

par **GeorgeB** » 15 Juin 2010, 10:52

Ok, merci à vous !!

Et comment faire pour montrer que la suite u définie par

est croissante ?

Par récurrence ça m'a bien l'air difficile ...

par **Micki28** » 15 Juin 2010, 10:58

Pour montrer qu'une suite est croissante tu as le choix entre:

Montrer que Un+1 - Un > 0

Montrer que Un+1/Un > 1

Utiliser la récurrence !

Je ne pense pas qu'étudier le signe de la différence soit la bonne idée.

par **benekire2** » 15 Juin 2010, 11:09

Re,

De toute façon, ça va revenir au même, tu simplifie ta combi (2n+2,n+1) pour faire apparaître une combi (2n,n) et tu simplifie, différence ou quotient, faut que tu te ramène à une étude de signe en 0 et (assez laborieusement on s'en sort).

Il y a peut être mieux ,

par **GeorgeB** » 15 Juin 2010, 11:11

d'accord, je vais essayer ce que vous dites.

J'ai une autr question que je n'arrive pas a faire, il faut montrer que il existe x et y irrationnels tels que

soit rationnel.

Je ne vois pas du tout comment procéder. Merci à vous !

par **benekire2** » 15 Juin 2010, 12:09

Et bien traite deux cas,

rationnel ou pas. Si c'est rationnel, c'est gagné, sinon ...

par **Ericovitchi** » 15 Juin 2010, 14:44

Oui en formant Un+1/Un tu peux montrer assez simplement que ça tends vers 1 par valeurs supérieures et que donc Un+1/Un >1

(parce que ça s'écrit

Sinon après, l'idée de Benekire est vraiment excellente.
Soit

est rationnel et ça y est on a trouvé, soit il ne l'est pas mais alors

(qui vaut 2) l'est et on a trouvé aussi.

par **benekire2** » 15 Juin 2010, 14:54

Ce n'est pas mon idée qui est excellente, c'est que moi aussi j'ai bien galéré un bout de temps ... mais je suis a peu près sûr que c'est un exercice archi classique pour les taupins :zen:

par **Ericovitchi** » 15 Juin 2010, 15:04

Je ne sais pas si c'est archi classique pour un taupin, mais l'idée est originale ; Atypique en tous les cas. On ne pense pas à priori à raisonner comme ça.

Enfin en tous les cas, moi j'ai trouvé ça sympa comme démonstration.

par **benekire2** » 15 Juin 2010, 15:12

Bah , je suis presque sûr qu'il y a mieux pour résoudre l'exo ... mais moi je sais que j'avais trouvé par "coup de chance" en essayant des trucs bidons, genre

ou

que j'ai pensé qu'il était rationnel ... et donc je me suis mit en tête de voir si il n'y avait pas un cas général, et j'ai essayé

et évidemment ça a marcher en voyant qu'on pouvait au pire élever encore une fois. Donc on peut bien sûr prendre la racine de 2.

Mais c'est pas du tout évident comme exo je trouve. C'est le genre de questions ... où je demande votre aide.

par **Nightmare** » 15 Juin 2010, 16:03

Et finalement,

il est rationnel ou irrationnel? :lol3:

Sinon, autre exemple,

!

par **Ericovitchi** » 15 Juin 2010, 16:06

Tiens un théorème que je ne connaisais pas et que j'ai découvert en furetant sur le sujet :
Si

est un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et si

est un nombre algébrique irrationnel alors

est un nombre transcendant.

(théorème de Gelfond-Schneider)

Ca montre si vous en doutiez que

est transcendant

par **benekire2** » 15 Juin 2010, 16:57

ou là ... je suis pas sûr que la démo soit facile :zen:

Sinon, nightmare, oui on peut prendre ce que tu as dit, c'est le plus simple, par contre, normalement faudrait prouver que e et ln(2) sont irrationnels, bien que ce soit des résultats connus.

par **GeorgeB** » 16 Juin 2010, 18:17

merci a tous pour vos réponse, j'ai pu conclure

J'ai maintenant un autre problème qui n'a rien a voir, qui concerne une somme. Je dois calculer :

J'ai commencé à calculer la somme qui me réduit donc à calculer :

Le problème c'est que je ne vois pas comment faire !! Merci de m'aider,

par **benekire2** » 16 Juin 2010, 18:24

salut !

C'est bien tu as fait "le plus gros" te reste plus qu'un produit. Face a une telle situation, le mieux c'est peut être de développer voir ce qui se passe. En l'occurence ça va se télescoper. il va pas te rester grand chose au final.

par **Ericovitchi** » 16 Juin 2010, 18:26

Regardes ce que donne ce produit. Tu as beaucoup de termes identiques au numérateur et dénominateur (sauf peut-être le premier et le dernier terme).
Donc ta fraction se simplifie énormément.

Edit : grillé

par **GeorgeB** » 16 Juin 2010, 18:50

Merci encore !!

Et si ça vous gêne pas, comment faire pour montrer que pour tout m entier on a :

PAr récurrence éidament mais je n'y parvient pas :hum:

MErci,

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