Château de cartes.

[Toto256]

Bonjour,

Vous connaissez sans doute l'exo du château de cartes où il faut trouver une formule générale pour le nombre de cartes en fonction du nombre d'étages.
Soit (u_n) la suite donnant le nombre de cartes et n le nombre d'étages. J'ai conjecturé u_n=(n(3n+1))/2 en calculant le nombre de cartes pour les premiers étages. Maintenant pour m'assurer que la conjecture est exacte, il suffit que je la montre par récurrence. Mais pour l'hérédité c'est un peu compliqué car que dire de u_n+1 ? Je ne dispose que d'une seule formule de (u_n). J'ai pensé à établir une formule par reccurence de u_n+1 en fonction de u_n mais il faudrait aussi que je montre cette formule avant de pouvoir l'utiliser... Donc doit-on admettre la validité de la formule ?

Merci bien.

[lyceen95]

Oublie le contexte du château de cartes.
Explique la démarche que tu connais pour une démonstration par récurrence. J'ai l'impression que c'est le principe même de démonstration par récurrence qui n'est pas compris.

[Toto256]

Si je connais parfaitement le principe de reccurence, simple, double forte. Ce que je dis c'est que la formule conjecturee doit être montrée par reccurence non ?. Pour l'hérédité, comment on s'y prendrai ? On part de u_n+1 mais ensuite ?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Un peu de réflexion te dira combien de cartes ajouter à un chateau de cartes à n étages pour obtenir un château de cartes à n+1 étages : il y a les cartes obliques qui vont par deux (combien ?), et les cartes horizontales qui séparent les étages (combien ?).

[Toto256]

Bah oui évidemment. Cela revient en fait à déterminer l'expression de (u_n) par récurrence donc u_n+1 en fonction de u_n. Mais ce que je me dis c'est est-ce qu'on trouve cette formule, on l'utilise dans l'hérédité et c'est OK, ou est ce qu'on conjecture cette formule, on la démontre par reccurence avant de l'utiliser dans l'hérédité. Vous voyez ? Dans tous les cas il y a une formule qu'on trouve mais qu'on ne démontre pas.

[lyceen95]

https://www.youtube.com/watch?v=udGGlHdSAgc

[GaBuZoMeu]

Tu te fais une drôle d'idée de ce qu'est une démonstration en combinatoire.
Pour moi quand je compte le nombre de cartes qu'il faut ajouter à un château à étages pour obtenir un château à étages, c'est une démonstration tout à fait valable.
Et une fois que j'ai ainsi en fonction de et de , il suffit de partir de pour établir par récurrence une formule close pour . On a bien une démonstration de cette formule close.
Alors finalement, où est le problème ? Je n'en vois aucun.

[Toto256]

Ok je suis d'accord. Je pensais que la formule de un+1 en fonction de u_n et de n n'était que de l'ordre de la conjecture et qu'il fallait encore la redemontrer par reccurence. Pourquoi donc on montre une formule par reccurence et pas l'autre sachant que pour la première on aurait pu dire que de manière combinatoire j'obtiens telle formule.

[GaBuZoMeu]

On montre comme on veut, du moment qu'on montre.
Et il me semble plus facile de compter combien de cartes ajouter pour passer de n étages à n+1 étages (pas une conjecture, un vrai calcul justifié de manière argumentée) que de compter directement combien de cartes il faut pour n étages.

[Toto256]

Si vous obtenez u_n+1 en fonction de u_n et de n, il sera plus difficile de calculer u_24 par exemple. Il faudra calculer tous les u_n pour n inférieur à 24. Sauf si on tombe sur une suite classique.

[GaBuZoMeu]

Je crois que tu n'as pas compris mon message précédent.
Je dis qu'il est plus facile d'établir la relation de récurrence entre et que d'établir directement une formule close pour .
Et une fois qu'on a la relation de récurrence
(car on ajoute paires de cartes obliques et cartes horizontales),
on peut établir par récurrence la formule close pour à partir de cette relation de récurrence. Soit on intuite cette formule close à partir du cas de petits et on la démontre par récurrence, soit on procède méthodiquement : puisque est un polynôme de degré 1 en et que , est un polynôme de degré 2 en sans terme constant : , et on trouve et en identifiant avec , ce qui donne .

[Toto256]

Ok je suis d'accord.