Chapitre Dérivée / Primitive .

par **Trident** » 01 Déc 2010, 21:03

Bonsoir,

Soit la fonction telle que pour tout x et y , f(x+y) = f(x) + f(y).

J'ai déjà démontré que f (0 ) = f (0) + f(0 ) = 2 f(0) = 0 . ( Y'a que 0 qui est égal à son double ).

Ensuite, j'ai réussi à montrer que f est impaire.

Maintenant, faut démontrer que f ' (x+y) = f ' (x).

Là, c'est délicat, on a f' (x+y) = f' (x)+ f ' (y).

Je suis bloqué là.

Ou sinon, j'ai essayé les fonctions composées, mais en posant u (x) = x + y et g (x) = f (x+y) , on a g '(x) = (f ° u) ' = u'(x) fois f ' ( u(x) ) = u '(x) fois f ' (x+y).

Ça n'amène à rien.

Merci pour votre aide.

par **Sa Majesté** » 01 Déc 2010, 21:07

Salut

Soit a un réel fixé
Pour tout x réel f(x+a) = f(x)+f(a)
Maintenant tu peux dériver cette expression, en utilisant la dérivée de fog pour dériver à gauche du =

par **Trident** » 01 Déc 2010, 21:15

Sa Majesté a écrit:Salut

Soit a un réel fixé
Pour tout x réel f(x+a) = f(x)+f(a)
Maintenant tu peux dériver cette expression, en utilisant la dérivée de fog pour dériver à gauche du =

Soit f (x + a) = f(x) + f(a)

Soit u (x) = x + a , alors f ' (x) = 1

Soit g (x) = f (x+ a).

On a alors g (x) = f ° u

Donc g ' (x) = u ' (x) fois f ' (x + a). = f ' (x+a).

Ça m'apporte toujours rien :S

Mais si je fais :

f(x+a) = f(x)+f(a)

[ f(x+a) ] ' = f '(x) + f ' (a) = f ' (x) + 0 = f ' (x)

Mais bon...

par **Sa Majesté** » 01 Déc 2010, 21:19

Quand tu dérives à gauche tu trouves f '(x+a)
Quand tu dérives à droite tu trouves f '(x)

Il ne te reste plus qu'à recoller les morceaux : f'(x+a) = f'(x)

par **Trident** » 01 Déc 2010, 21:25

Sa Majesté a écrit:Quand tu dérives à gauche tu trouves f '(x+a)
Quand tu dérives à droite tu trouves f '(x)

Il ne te reste plus qu'à recoller les morceaux : f'(x+a) = f'(x)

Ouais mais "y" est un réel fixé ? On dit pour tout réels x et y pourtant.
Je vois pas pourquoi on a le droit de remplacer y par "a" et pas "x" par a.

D'accord, ensuite il faut déduire que f ' est une fonction constante.

Puisque f ' (x+a) = f ' (x) , on a un nombre constant puisque la fonction qui a x fait correspondre x a pour dérivée un nombre constant.

Ensuite, on doit trouver toutes les fonctions dérivables sur R qui vérifient f (x+y) = f (x) + f (y)

Bon la dérivée est un nombre constant, ces fonctions sont de la forme x + k, k R.e ?
Juste ?

par **Sa Majesté** » 01 Déc 2010, 21:36

Trident a écrit:Ouais mais "y" est un réel fixé ? On dit pour tout réels x et y pourtant.
Je vois pas pourquoi on a le droit de remplacer y par "a" et pas "x" par a.

Tu as : pour tout x réel f'(x+a)=f'(x)
Comme c'est vrai pour tout a réel, alors pour tous x et a réels f'(x+a)=f'(x)
Et maintenant tu peux remplacer a par y si ça te chante :lol3:

Trident a écrit:Ensuite, on doit trouver toutes les fonctions dérivables sur R qui vérifient f (x+y) = f (x) + f (y)

Bon la dérivée est un nombre constant, ces fonctions sont de la forme x + k, k R.e ?
Juste ?

Non
D'ailleurs (x+y)+k n'est en général pas égal à (x+k)+(y+k)

par **Trident** » 01 Déc 2010, 21:40

Sa Majesté a écrit:Tu as : pour tout x réel f'(x+a)=f'(x)
Comme c'est vrai pour tout a réel, alors pour tous x et a réels f'(x+a)=f'(x)
Et maintenant tu peux remplacer a par y si ça te chante :lol3:

Non
D'ailleurs (x+y)+k n'est en général pas égal à (x+k)+(y+k)

Ah donc ce sont toutes les fonctions linéaires f(x)= x ?

par **Sa Majesté** » 01 Déc 2010, 21:45

Trident a écrit:Ah donc ce sont toutes les fonctions linéaires f(x)= x ?

:hum: f(x)=x c'est une fonction linéaire, pas toutes les fonctions linéaires

par **Trident** » 01 Déc 2010, 21:48

Sa Majesté a écrit::hum: f(x)=x c'est une fonction linéaire, pas toutes les fonctions linéaires

f(x) = kx avec k réel !

par **Sa Majesté** » 01 Déc 2010, 21:52

Trident a écrit:f(x) = kx avec k réel !

:++:

:zen:

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