Chapitre : configuraton du plan

[mimidu11]

Bonjour, j'ai un devoir maison a rendre dans une semaine et j'aimerez que vous m'éclaircissait l'exercice svp
On a un quadrilatère quelconque. I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
1. Démontrer que IJKL est un parallélogramme.
2. Comment choisir ABCD pour que IJKL soit un losange ? Pour que IJKL soit un carré ?
ps : il faut démontrer qu'avec des lettres, donc sans les mesures

1.On sait que ABCD est un quadrilatère.

On trace une droite passant par B et D.
Dans le triangle ABD on sait que I est le milieu respectif de [AB] et que L est le milieu respectif de [AD]
Or d'après le Théorème de la droite des milieux on sait que si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté du triangle.
Donc (IL) // (BD)
Or on sait aussi que dans le triangle BDC, J est le milieu respectif de [BC] et que K est le milieu respectif de [DC]
Or, d'après le Théorème de la droite des milieux on a (JK) // (BD)
Or (IL) // (BD)
Donc on a (BD) // (IL) // (JK)

Tracons une droite passant par A et C.
Dans le triangle BAC, on sait que J est le milieu respectif de [BC] et que I est le milieu respectif de [AB].
Or d'après le Théorème de la doite des milieux, on a (IJ) // (AC)
Dans le triangle ADC, on sait que K est le milieu respectif de [DC] et que L est le milieu respectif de [AD].
Or d'après le Théorème de la droite des milieux on a (KL) // (AC)
Or (IJ) // (AC)
Donc on a (AC) // (IJ) // (KL)

Or si on a (IJ) // (KL) et (IL) // (JK)
On peut dire que IJKL est un parallélogramme car ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Donc IJKL est un parallélogramme

Par contre pour la deuxième question je pense partir sur les propriétés de bases d'un losange et d'un carré ( côtés opposés égaux, ...).

Merci d'avance pour votre aide

[bombastus]

Salut,

la première est juste.

Par contre pour la deuxième question je pense partir sur les propriétés de bases d'un losange et d'un carré ( côtés opposés égaux, ...).

C'est ce qu'il faut faire. En réfléchissant bien, tu verras que ce n'est pas très compliqué...

[mimidu11]

je pense que c'est :
dans ABC on sais que IJ passe par les milieux de 2 coté du triangle, or si un segment joint les milieux de 2 coté dun trinagle, il est égal a la moitié du troisième cotés
donc IJ = AC /2
Dans DAC pareil on a alors : KL = AC / 2
Donc KL = IJ

et pareil pour le reste des cotés du losange et pour le carré aussi

[bombastus]

Tu es sur la bonne voie...

[mimidu11]

je pense que pour avoir un losange il faut que les diagonales de ABCD soient de même longeur et pour avoir un carré je pense que c'est pareil ...

[bombastus]

je pense que pour avoir un losange il faut que les diagonales de ABCD soient de même longeur et pour avoir un carré je pense que c'est pareil ...

Cela voudrait dire que carré et losange sont des notions équivalentes? ce n'est pas le cas...

Pour le losange, il faut effectivement que les diagonales de ABCD soient de même longueur.

Par contre pour le carré, avoir les diagonales de même longueur dans ABCD est une condition nécessaire mais pas suffisante.

[mimidu11]

il faut aussi que les diagonales soient perpendiculaire non ?

[bombastus]

exactement