Carré parfait nombre entier (urgent)

par **kokoL** » 13 Sep 2006, 18:56

slt a ts G un ptit probleme car G rien compri a ts sa dc si kk1 pourrai maidé sa srai cool!! merci davance !!!(je pense avoir compri 1) mé C le 2) ou G besoin daide!!)

On donne linformation suivante : un carré parfait est le carré d'un entier naturel

Conjecture étudiée : pour tout n appartient a N A=(4n-7)²+26n-40+9n² est un carré parfait.

1) Cas particulier ; calculer A lorsque n=0 n=1 n=2 n=3
Verifier que dans chacun de ces cas, A est un carré parfait.

2) Cas général : demontrer que pr tout entier naturel n, A est un carré parfait.

par **olivthill** » 13 Sep 2006, 19:07

Ca sent le raisonement par récurrence.

Voyons ce que donne la formule pour n+1 au lieu de n

(4(n+1)-7)²+26(n+1)-40+9(n+1)²
= (4n + 4 - 7)² + 26n + 26 - 40 + 9n² + 18n + 9
= (4n -3)² + 9n² + 44n - 5
= 16n² - 24n + 9 + 9n² + 44n - 5
= 25n² + 20n + 4
= (5n + 2)²

Donc, c'est gagné !

par **kokoL** » 13 Sep 2006, 19:09

merci pr tn aide mé G po tou compri pourrai tu mexpliké un pe plus clairement stp!!!

par **olivthill** » 13 Sep 2006, 19:24

Quelle est l'étape qui pose un problème ?
Est-ce que tu as appris ce qu'est un raisonnement par récurrence ?

par **kokoL** » 13 Sep 2006, 19:30

non je ne connais pas le raisonement par récurence...
si tu pouvais bien me détaillé l exrcice 2) sa serai simpa (si tu a le temps pourrais tu ossi mexpliqué comment je ferais pour verifier ds lexercice 1) que A est un carré parfait dans chaqun des calculs...)

par **olivthill** » 13 Sep 2006, 19:39

Pour la première question, il faut remplacer n par la valeur 0, 1, 2, 3.
On obtient un nombre, par exemple, pour n=0, on obtient 9.
Ensuite pour démontrer que 9 est un carré parfait, il suffit de regarder si sa racine carré est un nombre entier, ou s'il a des décimales. En l'occurence 9 = 3². Donc 9 est un carré parfait.
Les carrés parfaits sont juste les nombres 1², 2², 3², 4², 5², ..., n²

Un raisonnement par récurrence est un raisonnement pour lequel on montre que la formule est bonne pour n=0, puis pour N = n + 1.

par **kokoL** » 13 Sep 2006, 19:44

ok j'ai compris pour le 1) mais par contre pour le 2) je n'ai toujours pas compris!
(surtout que je ne vois pas se que (5n + 2)² peut démontrer...)

par **olivthill** » 13 Sep 2006, 20:02

(5n + 2)² est un carré parfait car :

n est un entier naturel
5n est un entier naturel
5n + 2 est un entier naturel
donc le carré est un carré parfait

par **kokoL** » 13 Sep 2006, 20:38

super j'ai compris juste une dernière petite chose pourquoi as tu remplacé n par n+1 ??

par **kokoL** » 13 Sep 2006, 20:39

é par la même occasion qu'est ce que le raisonnement par récurrence?

par **olivthill** » 13 Sep 2006, 20:45

Bon, d'accord. Si tu n'as pas vu en classe les raisonnements par récurrence, alors il faut trouver un autre moyen, et il y en a un plus simple. Je développe et je réduis la formule pour n :

(4n-7)²+26n-40+9n²
= 16n² - 56n + 49 + 26n - 40 + 9n²
= 25n² - 30n + 9
= (5n - 3)²

par **kokoL** » 13 Sep 2006, 21:10

Franchement c super simpa a toi d'avoir pris le temps de m'expliqué!! je te remercie beaucoup et j'espere décrocher une bonne note a mon devoir...

MERCI !!!!!

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