Calculer une longueur dans un repère grâce à un triangle rectangle

[darkher3]

Bonjour à tous,

Je bute sur une question de mon exercice (niveau 2nde)... Toutes les questions sont relatives à une figure :
Le segment [AC] est coupé par le point B. Le segment [AE] est perpendiculaire au segment [AC]. Le triangle AEB est dessiné. Le segment [CD] est perpendiculaire au segment [AC]. Le triangle BCD est dessiné. On sait également que EBD est rectangle en B.
AB = x
BC = y
CD = 1

Je suis dans un repère orthonormé (A,I,J). B (x;0) et E (0;e) avec e > 0.

Voilà donc la question : Sachant que EBD est rectangle, déterminer e.
Je sais de par l'exercice que je dois trouver e = xy, mais je ne vois pas comment : j'ai essayé Pythagore dans le triangle AEB, en disant que AB = x et EB = racine carrée(x² + e²), car EB est l'hypoténuse... mais je ne trouve pas du tout ce résultat. Mon prof m'a dit qu'il fallait se servir de EBD (ce qui est d'ailleurs sous-entendu dans la question), mais je ne sais pas comment...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît, j'ai VRAIMENT besoin de votre aide !

Si vous avez le livre math'x (éditions Didier, version 2010), c'est p. 262 n. 111 ! ^^

[siger]

bonjour,

la figure n'est formée que de triangles rectangles d'ou .....Pythagore
triangle ABE : e² + x² = EB²
triangle BDC : BD²= (y-x)² + 1
triangle BDC : ED² = BD² + EB²
mais en projettant D sur AE en H on a aussi
ED² = DH² + HE² = AC²+HE² = y² +(e-1)²
.....

[darkher3]

bonjour,

la figure n'eest formée que de triangles rectangles d'ou .....Pythagore
triangle ABE : e² + x² = EB²
triangle BDC : CD²

Déjà, merci d'avoir répondu si vite !
En fait, mon problème est que je dois confirmer une conjecture : e = xy
Donc, je dois faire des calculs (avec Pythagore) pour finalement trouver que e = xy.
Mon problème est que je n'arrive pas concrètement à développer des calculs pour trouver une certaine longueur dans EBD (sûrement EB, qui est aussi hypoténuse de AEB) pour finalement trouver e (ou AE). Quand j'arrive au calcul final, tout ce que je trouve c'est que AE = e, mais pas xy...

[siger]

Déjà, merci d'avoir répondu si vite !
En fait, mon problème est que je dois confirmer une conjecture : e = xy
Donc, je dois faire des calculs (avec Pythagore) pour finalement trouver que e = xy.
Mon problème est que je n'arrive pas concrètement à développer des calculs pour trouver une certaine longueur dans EBD (sûrement EB, qui est aussi hypoténuse de AEB) pour finalement trouver e (ou AE). Quand j'arrive au calcul final, tout ce que je trouve c'est que AE = e, mais pas xy...

Desolé : une fausse manip et la reponse etait incomplete (voir la modification)!!!!!

[darkher3]

Je l'ai vu, mais cette histoire de projection, je n'y comprends rien et je ne l'ai pas du tout vu en cours, je pense qu'il doit y avoir un autre moyen, d'autant que le résultat de la projection que tu as fourni est BEAUCOUP plus long que seulement e = xy ... :/
Sinon j'ai moi aussi fait une petite erreur, ce n'est pas AC = y mais BC = y, je l'ai modifié sur mon 1er message ! ^^

[siger]

RE

Il me semblait aussi!

Je cherchais une solution entierement geometrique et j'avais oublié que l'on etait dans un repere (A,AB,AD)
donc
triangle ABE : EB² =e² + x²
triangle BDC : BD²= y² + 1

dans le repere on a E(0;e) et D( x+y;1)
d'ou ED² = (e-1)² + (x+y)²
ce qui conduit a
(e-1)² + (x+y)² = e² + x² + y² + 1
.....
d'ou e = xy

[darkher3]

RE

Il me semblait aussi!

Je cherchais une solution entierement geometrique et j'avais oublié que l'on etait dans un repere (A,AB,AD)
donc
triangle ABE : EB² =e² + x²
triangle BDC : BD²= y² + 1

dans le repere on a E(0;e) et D( x+y;1)
d'ou ED² = (e-1)² + (x+y)²
ce qui conduit a
(e-1)² + (x+y)² = e² + x² + y² + 1
.....
d'ou e = xy

Je ne comprends toujours pas quelque chose : comment arrives-tu à cette ligne ? :/

Et en quoi e² + x² + y² + 1 mène à e = xy ?

[siger]

Re

J'imagine que tu sais calculer la distance entre deux points dont tu connais les coordonnées.........

[darkher3]

Oui bien sûr, maintenant que tu me le dis je reconnais, et tu n'as pas mis la racine carrée car tu élèves EB au carré, c'est ça ? ^^

[darkher3]

Mais alors à quoi correspondent les données dans les parenthèses, ce n'est pas (xE - xD) + (yE - yD) ?

[siger]

Re

bien sur que non
je n'eleve rien au carré: le calcul de la distance entre deux points est basée sur le theoreùme de pythagore et fait intervenir des carrés
BD² = (xE-xD)² + (yE-yD)²

[darkher3]

OK vraiment désolée j'ai pas compris que tu avais enlevé le 0 (xE) et que tu avais d'abord mis les y et ensuite les x...

Je suis bien arrivée au point ED = e² + x² + y² + 1. Maintenant, comment faire le lien avec la longueur e elle-même, sur AE ?

[darkher3]

Perso je l'ai appris en mettant tout à la puissance 1 : on veut calculer ED, on laisse ED puissance 1 et pour équilibrer on met une racine carrée de l'autre côté, mais ça revient au même ;)

[siger]

RE

OK vraiment désolée j'ai pas compris que tu avais enlevé le 0 (xE) et que tu avais d'abord mis les y et ensuite les x...

Je suis bien arrivée au point ED = e² + x² + y² + 1. Maintenant, comment faire le lien avec la longueur e elle-même, sur AE ?

Encore une fois ce n'est pas ED mais ED²
Il suffit maintenant d'ecrire que le trianglre BDE, dont tu connais tous les cotes, est un triangle rectangle en B
......

[titine]

E(0;e) et D( x+y;1)
Donc ED² = (x+y-0)² + (1-e)² = (x+y)² + (1-e)²
siger a écrit (e-1)² mais c'est pareil car (1-e)² = (e-1)²

Donc :
(x+y)² + (1-e)² = e² + x² + y² +1
Ce qui donne :
x² + 2xy + y² + 1 - 2e + e² = e² + x² + y² + 1
2xy - 2e = 0
xy = e

[darkher3]

RE


Encore une fois ce n'est pas ED mais ED²
Il suffit maintenant d'ecrire que le trianglre BDE, dont tu connais tous les cotes, est un triangle rectangle en B
......

Je sais depuis le début que EBD est rectangle en B ?:
J'ai bien compris ta démarche avec le ED², mais mon prof nous l'a appris d'une autre façon : pour calculer la longueur d'un segment [AB] dans un repère, la formule est AB = racine carrée( (xA - xB)² + (yA - yB)² ) !

Je suis donc arrivée à la longueur de ED : ED = e² + x² + y² + 1. Que faire maintenant ? :/

[siger]

re

decidement sous pretexe de suivre les indications de ton prof, tu melanges tout !
qu'elle difference entre
ED^2 = (xD-xE)^2 + (yD-yE)^2 et ED= racine( xD-xE)^2 + (yD-yE)^2) si onconsidere des longueurs?

dans le triangle rectangle BDE on a
DE^2=BD^2 + BE^2
on connait
DE^2 = (e-1)^2+(x+y)^2
BE^2= x^2+e^2 dans le triangle ABE
BD ^2=y^2 +1 dans le triangle BDC
d'ou
........

[darkher3]

C'est bien ce que je dis, il n'y en a aucune, mais mon prof m'a appris à faire comme ça donc je le rédigerais ainsi ^^ Je ne connaissais juste pas cette méthode, mais j'ai compris ;)

Je suis bien arrivée à ce point, mais d'où... quoi ? ^^ Je fais Pythagore sur ABE pour trouver AE ? :??:

[siger]

re

OK fais comme tu le sens, mais cen'est pas une methode particuliere, j'ose a peine repeter que c'est la même chose avec deux ecriture differentes.....

pour le reste il serait temps de reflechir un peu ....'
tu as la relation de Pythagore dans le triangle BDE et tu connais les trois longueurs des cotes en fonction de e, x et y
je ne vais pas faire le calcul a ta place .....

bonsoir

[darkher3]

Je ne suis juste pas sûre d'avoir bien compris qu'il faut maintenant refaire Pythagore dans AEB, mais ce n'est rien tu m'as déjà bien aidée, merci beaucoup en tous cas ! :)