Calcul d'intégrale

[Soussou]

Bonjour,

Ci-dessous un exercice contenant le calcul d'une intégrale. Quelqu’un peut m'aider à trouver où est mon erreur car je trouve à la fin une aire négative ce qui est bien sûr impossible.

L’énoncé:
On considère la fonction f définie sur ]0 ; + 00 [ par: f(x) = x(lnx - 1)
Soit h la fonction définie sur ]0 ; + 00 [ par: h(x) = x lnx
1)a) Montrer que, pour tout x de ]0 ; + 00 [ , on a : f'(x) = lnx (là, il n'y a pas de problème, je l'ai trouvé)
b) Etudier le signe de f'(x) sur ]0 ; + 00 [ et en déduire le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle
]0 ; + 00 [ (J'ai trouvé f décroissante sur ]0 ; 1[ et croissante sur ]1 ; +00 [ et que f(1) = -1)
2)a) Démontrer que la fonction H définie sur ]0 ; + 00 [ par H(x) = est une primitive sur ]0 ; + 00 [ de la fonction h définie précédemment. (J'ai dérivé H et j'ai bien trouvé h)
b) En déduire une primitive F de f et calculer : I = (C'est intégrale de 1 à e de f(x) dx)
Voici mon calcul:
f(x) = x(lnx - 1) = xlnx - x = h(x) - x donc
F(x) = H(x) - =
D'où I = F(e) - F(1) = Mais ce résultat est négatif!!!
c) En déduire l'aire, en unités d'aires, de la partie du plan délimitée par , l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=e. On arrondira le résultat au dixième
Cette aire c'est I mais comme elle est négative ...
Merci pour vos réponses

[zygomatique]

salut

et alors ? une intégrale est une aire algébrique (avec un signe qui dépend de la position du domaine par rapport à l'axe des abscisses)

à toi de voir par rapport à la courbe .... ou alors tu as fait une erreur ....

[WillyCagnes]

bjr
ton resultat est bon I=-1,0973
car la surface se trouve en dessous de l'axe des abscisse (Y<0)
une aire est normalement >0

calcule donc I1 entre les bornes [1 et 2e]
et I2 entre les bornes [e et 2e]
et tu trouveras I2>I1

[Soussou]

Merci pour vos réponses.
Donc mon I est bien négatif. Dans ce cas, l'aire demandée en question c) est égale à - I. Car pour moi une aire doit toujours être positive.
Effectivement sur [1; e] la fonction f est négative et donc la courbe en dessous de l'axe des abscisses, d'où l'aire entre ; l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=e est: intégrale de 1 à e de (-f(x))dx.
Est-ce bien cela?
Encore une fois merci.

[zygomatique]

oui ...

calcule simplement l'intégrale demandée

puis suivant que ta surface est au dessus ou en dessous tu prends la valeur ou son opposée ....